100玉井工商

題目請見附件

3.
已知點P為橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1 \)上的點，\( A(6,0) \)，\( B(-3,4) \)，求\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為？

坐標平面上，已知點\( A(4,0) \)和\( B(3,3) \)，P是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1 \)上的動點，則\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為？
(100彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1113&page=1#pid3274)


8.
用紅、黑、黃3種顏色塗下列9個不同的區域如下圖，規定每區需塗一色，顏色可以重複使用，但相鄰部分不得塗同色，則共有幾種不同的塗法？
解答https://math.pro/db/thread-499-1-1.html


10.
袋中有3個紅球，2個黑球與4個黃球，設每一球被取到的機會相等，今由袋中一次任取一球，每次取完後不放回，則紅球先取完的機率為？

分別有3紅,4白, 5黃,6黑球,試求白球先取完之機率?
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43871

袋中有3白4黃3紅,取出不放回
(1)求白球先取完的機率
(2)若X表白球先取完時的次數,求X的期望值
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43062


2.
圓內接凸四邊形ABCD，若四邊長分為\( \overline{AB}=a \)，\( \overline{BC}=b \)，\( \overline{CD}=c \)，\( \overline{DA}=d \)，證明圓內接四邊形ABCD的面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)，其中\( \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} \)
2011.6.13
感謝moun9告知，應是求圓內接四邊形面積
蔡聰明，四邊形的面積
http://www.google.com.tw/search? ... l2l0l0l0l0l90l172l2

3.
已知\( \displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{64}{sin \theta}+\frac{27}{cos \theta} \)的最小值為？
需列出算式，只寫答案不予計分
(我的教甄準備之路　廣義的柯西不等式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075)

計算第三題想了好久還是想不到証法，請問誰可以幫忙解惑嗎

3.
已知\( \displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{64}{sin \theta}+\frac{27}{cos \theta} \)的最小值為？
[解答]
令 X=64/sina +27/cosa
由廣義柯西不等式得
X*X*[(sina)^2+(cosa)^2]>={   [ [64*64/(sina)^2]*(sina)^2]^(1/3)+  [ [27*27/(cosa)^2]*(cosa)^2]^(1/3)  }^3

X^2 >=  (16+9)^3

X>=125

請問填充第6、7、9題

填充第 6 題：
設\(f(x)\)表定義為正整數的函數，且\(f(1)=999\)，又對\(n\ge 2\)的任意正整數\(n\)，恆有\(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n)=n^2f(n)\)，求\(f(999)=\)？
[解答]
對任意 \(n\geq 2\)，恆有

　　\(\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)=n^2 f(n)\)

　　\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} f(k)=(n-1)^2 f(n-1)\)

將上兩式相減，可得

　　\(f(n)=n^2 f(n) - (n-1)^2 f(n-1)\)

　　\(\Rightarrow (n^2-1) f(n) = (n-1)^2 f(n-1)\)

　　\(\Rightarrow (n+1)  f(n) = (n-1) f(n-1)\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n+1} f(n-1)\)


所以，


　　\(\displaystyle f(n) = \frac{n-1}{n+1}\cdot f(n-1)\)

　　\(\displaystyle f(n-1) = \frac{n-2}{n}\cdot f(n-2)\)

　　\(\displaystyle f(n-2) = \frac{n-3}{n-1}\cdot f(n-3)\)

　　　　　\(\cdots\)

　　\(\displaystyle f(2) = \frac{1}{3}\cdot f(1)\)

將上列各式相乘，可得

　　\(\displaystyle f(n)=\frac{2\cdot 1}{(n+1)\cdot n}\cdot f(1)\)

故，

　　\(\displaystyle f(999) = \frac{2\cdot 1}{100\cdot 999}\cdot f(1)\)

　　　　　　\(\displaystyle=\frac{1}{500}\)

#9
求\(\displaystyle \int_{-1}^7 (-2+\sqrt{-x^2+6x+7})dx=\)？
[解答]
令y=(-x^2+6x+7)^0.5
則y^2=-(x-3)^2+16
(x-3)^2+y^2=4^2
S {-1, 7}   (-x^2+6x+7)^0.5  dx
=S {-1, 7}   [16-(x-3)^2]^0.5  dx
(表示求(x-3)^2+y^2=4^2上半圓面積)
= 4*4Pi/2=8Pi
又S {-1,7}  (-2) dx = -2(7+1)=-16
所求 =S {-1, 7}   [-2+ [16-(x-3)^2]^0.5 ]  dx
=8Pi -16

第 7 題：
袋中有編號1,2,3,4,5,6,7號的球各一個，設每一球被取到的機會相等，今由袋中一次任取一球，每次取完後均放回袋中再取，令\(a_n\)表取完\(n\)次後所取球號總和為3的倍數的機率,求\(a_4=\)？
[解答]
令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\)

　 \(f(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\)

則

所求機率 \(\displaystyle =\frac{f(x) \mbox{ 展開式中} x \mbox{ 的 } 3,6,9,... \mbox{ 次方項的係數和}}{7^4}\)

　　　　 \(\displaystyle =\frac{\frac{1}{3}\left(f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)\right)}{7^4}\)

　　　　 \(\displaystyle =\frac{\frac{1}{3}\left(2401+\omega+\omega^2\right)}{2401}\)

　　　　 \(\displaystyle =\frac{800}{2401}\)

想問一下
我是令\(y=-2+\sqrt{-x^2+6x+7}\)
然後把他換成圓方程式
所以所求 為上半圓面積
我這樣哪裡 觀念錯了呢?

紅色部分的面積　－　藍色部份的面積值



等於



扣掉