100彰化女中

如附件
請各位用力享用
有去考的可以分享計算題嗎?

以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 68分
78,77,75,70,69,68,68
(68分有2人增額錄取參加複試)

60~63分  3人
50~59分 15人
40~49分 29人
30~39分 32人
20~29分 25人
10~19分 15人
0~ 9分   8人
缺考　　 2人

共計 136 人

1.
化簡\( \displaystyle \frac{1}{sin 10^o}-4sin70^o \)
(奧數教程　高一卷　第11講三角恆等變形)


5.
設\( a_n=7^n+8^n+9^n \)，其中\( n=1,2,3,... \)，試求\( a_{100} \)除以512的餘數為？

設\( a_n=7^n+8^n+9^n \)，其中\( n=1,2,3,... \)，試求\( a_{99} \)除以729的餘數為？
(98高中數學能力競賽　台北市筆試一試題)
https://math.pro/temp/hs_math_98.rar

13.
已知\( x,y,z \)為正實數，且滿足\( xyz(x+y+z)=8 \)，則\( (x+z)(y+z) \)的最小值為？

若三正數\( x,y,z \)滿足\( xyz(x+y+z)=25 \)，則\( (x+y)(y+z) \)的最小值為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919

已知\( x,y,z \)是正数，且满足\( xyz(x+y+z)=1 \)，则\( (x+y)(x+z) \)的最小值为？
(新奧數教程高二卷第2講　平均不等式和科西不等式，高中數學101　P353)

能否請問一下老師們

第12 15 17嗎，感謝

第 15 題
編號1，2，3，……，9的卡片9張，甲從其中任選3張，乙再從剩下的卡片任選3張，並且依下列規則比大小：
第一回合：兩人手中最大號碼的卡片比較數字大小；
第二回合：兩人手中第二大號碼的卡片比較數字大小；
第三回合：兩人手中最小號碼的卡片比較數字大小；
每回合數字大者該回合獲勝，三回合獲勝較多者為贏家。請問甲有兩回合獲勝的情形有幾種？
[解答]
由 9 個號碼中選出 6 個，

這六個號碼由小到大，分配給甲乙兩人的情況只有可能為

　　乙乙甲甲甲乙，乙甲乙甲甲乙（←甲輸了最大數）

　　乙甲甲乙乙甲（←甲輸了中間數）

　　甲乙乙甲乙甲，甲乙乙乙甲甲（←甲輸了最小數）

所以，所求為 \(C^9_6\cdot5=420\) 種。

12.
坐標平面上，已知點\( A(4,0) \)和\( B(3,3) \)，P是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1 \)上的動點，則\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為？
[解答]
取\( F(-4,0) \)，作射線\( \overline{FB} \)交橢圓於P
P即為所求

證明：
在橢圓上任取一點Q
\( F(-4,0)，A(4,0) \)為橢圓的兩焦點，\( 2a=12 \)
由橢圓定義可知
\( \overline{PA}+\overline{PB}=2a-\overline{BF} \)
\( \overline{QA}+\overline{QF}=2a \)
△A'BP'的三角不等式
\( \overline{QB}+\overline{BF} \ge \overline{QF} \)

\( \overline{QB}-\overline{QF} \ge -\overline{BF} \)

\( 2a-\overline{QF}+\overline{QB} \ge 2a-\overline{BF} \)

\( \overline{QA}+\overline{QB} \ge \overline{PA}+\overline{PB} \)
當\( P=Q \)時等號成立



給定\( A(-2,2) \)，已知B是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上的動點，F是左焦點，當\( \displaystyle \overline{AB}+\frac{5}{3}\overline{BF} \)取最小值時，求B的坐標？
(1999大陸高中數學競賽)
雖然這題看起來和上一題有點類似，但多乘了\( \displaystyle \frac{5}{3} \)倍，整個解法就完全不同。

第17題
夜市裡流行著一個遊戲。
遊戲規則是：參賽者必須先付10元再擲一粒公正的骰子，若出現1點或6點，則進入甲套玩法，否則選擇乙套玩法。
甲套玩法：同時取5枚銅板丟擲一次，每出現一個正面可贏得獎金2元。
乙套玩法：只取一枚銅板丟擲5次，在丟擲過程中，出現第\(k\)個正面可贏得獎金\(k\)元，\(0\le k \le 5\)。
試求：玩一次這個遊戲，得獎金期望值為　　　元。

請見
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2519

看了附件仍然不懂為何:
\(\displaystyle arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\ldots\)
可以請老師再說明一下嗎？

泰勒展開式.

想請教第16題，感謝