100中科實中

7.
一袋中有5個球，分別寫上1、2、3、4、5號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續\(n\)次，若\(P_n\)表紀錄到\(n\)次時數字和為偶數的機率，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_n)=\)　　　。
[解答]
先看出遞迴關係
P(n+1)=(2/5)P(n)+(3/5)[1-p(n)]
=> P(n+1)=(-1/5)P(n)+3/5
=> P(n+1)-1/2=(-1/5)[P(n)-1/2]
即< P(n)-1/2>為首項P(1)-1/2=2/5-1/2=-1/10, 公比-1/5的等比數列
原式= -Σ(n=1 to ∞) [p(n)-1/2]
=-(-1/10)/[1-(-1/5)]
=1/12

14.
如下圖(圖形中各線段之比例僅供參考，實際之比例敘述如後)，
設\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}=\frac{1}{3}\)且\(\displaystyle \frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{1}{2}\)且\(\displaystyle \frac{\overline{AF}}{2}=\frac{\overline{FG}}{1}=\frac{\overline{GC}}{2}\)，若\(\vec{BH}=\alpha \vec{BA}+\beta \vec{BC}\)，則實數對\((\alpha,\beta)=\)　　　。
[解答]
我的解法稍麻煩了些
以下BA表示向量BA, 餘類推
BH=αBA+βBC
設FH=tDF, GH=sEG, s,t為實數
BH=BF+FH
=(3/5)BA+(2/5)BC+t(BF-BD)
=(3/5)BA+(2/5)BC+t[(3/5)BA+(2/5)BC-(3/4)BA]
=[(12-3t)/20]BA+[(2+2t)/5]BC...(1)
又
BH=BG+GH
=(2/5)BA+(3/5)BC+s(BG-BE)
=(2/5)BA+(3/5)BC+s[(2/5)BA+(3/5)BC-(1/3)BC)]
=[(2+2s)/5]BA+[(9+4s)/15]BC...(2)
由(1)(2)知α=(12-3t)/20=(2+2s)/5, β=(2+2t)/5=(9+4s)/15
解得s=1/4, t=2/3(t可不解)
=> (α,β)=(1/2, 2/3)

15.
將一矩形（邊長均為整數）的角剪去一個三角形後形成一個新的五邊形，今知此五邊形之邊長為13,19,20,25,31（不一定照順序成五邊形），試問此五邊形之面積為　　　。
[解答]
就一個長31, 寬25的矩形
在一角截去兩股為12(長的方向), 5(寬的方向)的直角三角形
則得五邊形五邊為31,25,19,13,20
即得五邊形面積=31*25-(1/2)*12*5=745

112.8.23補充
A pentagon is formed by cutting a triangular corner from a rectangular piece of paper. The five sides of the pentagon have lengths 13, 19, 20, 25 and 31, although this is not necessarily their order around the pentagon. The area of the pentagon is
(A)459　(B)600　(C)680　(D)720　(E)745
(1995AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_22)

第 14 題
如下圖(圖形中各線段之比例僅供參考，實際之比例敘述如後)，
設\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}=\frac{1}{3}\)且\(\displaystyle \frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{1}{2}\)且\(\displaystyle \frac{\overline{AF}}{2}=\frac{\overline{FG}}{1}=\frac{\overline{GC}}{2}\)，若\(\vec{BH}=\alpha \vec{BA}+\beta \vec{BC}\)，則實數對\((\alpha,\beta)=\)　　　。
[解答]
也可以坐標化，令 \(B(0,0), C(1,0), A(0,1)\)

然後用分點公式找出 \(D,E,F,G\) 點坐標，

再求 \(DF\) 直線與 \(EG\) 直線方程式，

並且找出兩直線的交點 \(H(\beta,  \alpha).\)

因為 \(\vec{BA}\) 與 \(\vec{BC}\) 不平行，

所以此兩向量線性獨立，

故可以當成此平面的基底向量。 ^__^

至於上面的坐標化，就是建立斜坐標。

感謝Fermat 老師!!
也感謝weiye老師第14題的座標化，快了很多!!!

第 7 題：
一袋中有5個球，分別寫上1、2、3、4、5號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續\(n\)次，若\(P_n\)表紀錄到\(n\)次時數字和為偶數的機率，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_n)=\)　　　。
[解答]
假設 \(f(x)=(x + x^2 + x^3 + x^4 +x^5)^n\)，則 \(P_n = \displaystyle\frac{f(x) 偶次項係數和}{5^n} = \displaystyle\frac{f(1) + f(-1)}{2 \times 5^n} = \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{-1}{5})^n\)。

第14題
如下圖(圖形中各線段之比例僅供參考，實際之比例敘述如後)，
設\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}=\frac{1}{3}\)且\(\displaystyle \frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{1}{2}\)且\(\displaystyle \frac{\overline{AF}}{2}=\frac{\overline{FG}}{1}=\frac{\overline{GC}}{2}\)，若\(\vec{BH}=\alpha \vec{BA}+\beta \vec{BC}\)，則實數對\((\alpha,\beta)=\)　　　。
[解答]
另解
假設BH與AC交於M
by孟氏定理
(AF/FM)*(MH/HB)*(BD/DA)=1  --------(1)
(CG/GM)*(MH/HB)*(BE/EC)=1  --------(2)
(1)/(2)  => GM/FM = 1/6  => GM:FM = 1:6
BM = 3/7BA + 4/7BC  (向量)
又by (1)  MH:HB = 1:7  => MH:MB=1:6
BC=7/6BM=7/6(3/7BA + 4/7BC)=1/2BA + 2/3BC  (向量)

想請問各位老師們第11題 ~~~謝謝大家！~~~

第 11 題
\(P\)為球面\(S\)：\((x-1)^2+(y-2)^2+z^2=4\)上的動點，\(A(3,4,0)\)、\(B(3,3,2)\)為球面外兩點，求\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\)的最大值為　　　。
[解答]

先求出 \(A, B\) 的中點 \(\displaystyle C(3, \frac{7}{2}, 1)\)

則

\(\displaystyle \overline{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\displaystyle \overline{PC}\) 的最大值為 \(\displaystyle \sqrt{\left(1-3\right)^2+\left(2-\frac{7}{2}\right)^2+\left(0-1\right)^2}+2=\frac{\sqrt{29}}{2}+2\)

所以，\(\displaystyle \overline{PA}^2 + \overline{PB}^2= 2\left(\overline{PC}^2+\overline{AC}^2\right)\)

　　　　　　　　　\(\displaystyle \geq 2\left(\left(\frac{\sqrt{29}}{2}+2\right)^2+\frac{5}{4}\right)\)

　　　　　　　　　\(= 25+4\sqrt{29}.\)

可以請問第8題嗎
我想要換成積分的形式來處理
可是好像被積分的上下標困住了

請前輩賜教
感謝