函數具有性質 f(x-1)f(y-1)=f(xy-x-y+1)+2x-3y+3，求 f(2009)=?

九十八學年度高屏區，高級中學數學及自然科能力競賽，數學筆試（二）

當中的第一題題目為：

一、設函數具有性質 \(f(x-1)f(y-1)=f(xy-x-y+1)+2x-3y+3\)，求 \(f(2009)=?\)

官方版的答案詳見：http://140.122.140.4/exam/hs/98/doc/98_hs_exam_report.pdf 當中的頁碼第 122 與 123 頁。

今天學生來問我時，提到做法如下：

令 \(a=x-1,y=b-1\)，則 \(f(a)f(b)=f(ab)+2a-3b+2\)，則

分別以 \(a=1,b=2009\) 及 \(a=2009, b=1\) 帶入，可得兩式

\(f(1)f(2009)=f(2009)-6023\) 及 \(f(2009)f(1)=f(2009)+4017\)，

兩式相減，可得矛盾方程式，故此題目有誤。

想請論壇上網友幫忙再次確認，是否是題目有誤？（我是這樣覺得啦，但還是問一聲～）

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而且考究官方解答中的兩種情況

情況 (i)：「\(f(x-1)=1+x\) 」，則 \(f(x)=x+2\)，

　　　　　左式＝\(f(x-1)f(y-1)=xy+y+x+1\)

　　　　　右式＝\(f(xy-x-y+1)+2x-3y+3=xy-4y+x+6\)，兩者不必然會相等。

情況 (ii) ：「\(f(x-1)=1-2x\)」，則 \(f(x)=-1-2x\)，

　　　　　左式＝\(f(x-1)f(y-1)=4xy-2y-2x+1\)

　　　　　右式＝\(f(xy-x-y+1)+2x-3y+3=-2xy-y+4x\)，兩者不必然會相等。


以上思考流程如果有誤的話，希望論壇上先進能不吝告知？感謝。

weiye兄您好:

只有當x=y時,f(x-1)*f(y-1)與f(xy-x-y-1)+2x-3y+3左右兩邊等號才成立

您沒用到x=y這條件,所以f(x-1)*f(y-1)與f(xy-x-y-1)+2x-3y+3左右兩邊等號不成立

但,您注意到了官方解答一開始用了x=y這條件當然f(x-1)*f(y-1)與f(xy-x-y-1)+2x-3y+3左右兩邊等號成立,就能算出答案

題目有瑕疵?還是要學生去推導判斷這個等式若能成立,是發生在x=y時?


註:    f(x-1)*f(y-1)=f(xy-x-y+1)+2x-3y+3--------(i)
     又f(y-1)*f(x-1)=f(yx-y-x+1)+2y-3x+3--------(ii)
     (i)-(ii)  得 2x-3y+3=2y-3x+3  ,所以x=y
     此時等號才成立...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-2-21 10:28 PM 編輯 ]

後來看它的解答也很奇怪,既然x=y,它最後又先令y=1,後來又代x=2009

就是這個癥結點，我把題目解讀為「對任意實數 \(x,y\) 都滿足性質」~~

而如此，則此命題就會有瑕疵（因為該條件中的 \(x,y\) 不具有對稱性） ，

而原來題目是要解題者先去判斷該條件成立的條件是在特定的條件( \(x=y\) )時才會成立，

感謝 Ellipse 老師點出癥結點~~感激感激~ ^_________^

咦，對耶，根據性質要成立的條件，必須先滿足 x=y，

而因此也只能得到 \(\left(f(a)\right)^2=f(a^2)+2-a\)，而不能將 \(x\) 與 \(y\) 分別代不同值，

所以官方解答後段寫的 \(y=1\) 又代 \(x=2009\) 看來似乎真的不行（若 \(x\neq y\)，則題意的性質不會成立）。

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變成說最後要求f(2009)可能求不出來,但果改求f(1)就行了..但會太簡單

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-2-22 10:27 AM 編輯 ]

\(f(1)\) 求出來之後，\(f(-1)\) 也可以找得出來。

除了 \(f(0), f(1), f(-1)\) 之外，不知可否找出更多。

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個人淺見:
題目的寫法就應該是對任意x,y都正確，否則寫成x的式子就好，
也就是題目出錯了。