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114建國中學

本主題由 bugmens 於 2025-4-1 18:48 合併

Jimmy92888

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11^# 大中小發表於 2025-4-2 20:41 只看該作者

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原帖由 joiuk123 於 2025-4-2 15:20 發表
想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。

計算第2題第(2)小題
當a=0時，A=B=1，所以後續僅討論a

=0的情形。
首先，求A

=

的a值限制
A=

x

f(x)=x

=

x

ax2−x+1=0

判別式=(−1)2−4a

0，得a

41

其次，求A=B的a值限制
B=

x

f(f(x))=x

=

x

(ax2−x+1)(a2x2+ax+a+1)=0

依a2x2+ax+a+1=0的解情形分類討論：
(1)a2x2+ax+a+1=0有兩相異實根，
　此時係數與ax2−x+1=0成比例，檢查知a無解
(2)a2x2+ax+a+1=0有兩相等實根
　判別式=a2−4a2(a+1)＝0，得a=−43 (代入檢驗符合)
(3)a2x2+ax+a+1=0無實數解
　判別式=a2−4a2(a+1)

0，得a

−43
故a值的範圍為[−43

41]

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-2 20:46 編輯 ]

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optimal0204

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12^# 大中小發表於 2025-4-2 20:52 只看該作者

各位老師好，想請問第4、10、12，謝謝!

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peter0210

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13^# 大中小發表於 2025-4-2 22:10 只看該作者

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peter0210

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14^# 大中小發表於 2025-4-2 22:31 只看該作者

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thepiano

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15^# 大中小發表於 2025-4-2 22:47 只看該作者

回覆 12# optimal0204 的帖子

第 12 題
√[(x - 2)^2 + (y - 1)^2]/(|3x + 4y|/5) = 1/5
表示點 (x，y) 到 (2，1) 的距離/點 (x，y)到直線 3x + 4y = 0 的距離 = 1/5

離心率 e = c/a = 1/5
a = 5c，b^2 = 24c^2

橢圓焦點 (2，1) 到直線 3x + 4y = 0 之距離 = 2
a - c = 2 * 1/6 = 1/3
4c = 1/3
c = 1/12

正焦弦長 = 2b^2/a = 48c^2/(5c) = (48/5)c = 4/5

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peter0210

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16^# 大中小發表於 2025-4-2 23:02 只看該作者

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joiuk123

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17^# 大中小發表於 2025-4-3 00:21 只看該作者

回覆 11# Jimmy92888 的帖子

謝謝老師的回答，文中的B集合老師是怎麼整理的呢？以下是我剛剛想到的作法（目的是為了湊出A集合內的樣子）

[ 本帖最後由 joiuk123 於 2025-4-3 00:39 編輯 ]

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Jimmy92888

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18^# 大中小發表於 2025-4-3 08:11 只看該作者

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原帖由 joiuk123 於 2025-4-3 00:21 發表
謝謝老師的回答，文中的B集合老師是怎麼整理的呢？以下是我剛剛想到的作法（目的是為了湊出A集合內的樣子）

因為第(1)小題知，f(x)−x為f(f(x))−x的因式，所以直接用多項式除法，把f(f(x))−x除以f(x)−x。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 10:35 編輯 ]

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Jimmy92888

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19^# 大中小發表於 2025-4-3 08:49 只看該作者

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原帖由 joiuk123 於 2025-4-2 15:20 發表
想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。

計算第1題
第(1)題
分別以遞迴關係式化簡左右式
an+2−an+1=(85−21(an+1)2)−an+1=−21(an+1)2−an+1+85
−bn(an+1−an)=−21(an+1+an)(an+1−an)
　　=−21((an+1)2−(an)2)=−21(an+1)2+21(an)2
　　=−21(an+1)2+(85−an+1)=−21(an+1)2−an+1+85

第(2)題
檢查n=1，0

a1

85成立
設n=k成立，即0<a_{k}<\frac{5}{8}
化簡，得\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(\frac{5}{8})^2<\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{k})^2<\frac{5}{8}-0^2
即0<\frac{55}{128}<a_{k+1}<\frac{5}{8}
所以n=k+1成立
由數學歸納法得證

第(3)題
因為a_{n+1}-a_{n} =\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n})^2-a_{n} =-\frac{1}{2}(a_{n}-\frac{1}{2})(a_{n}+\frac{5}{2})
又由(2)知，\frac{5}{2}<a_{n}+\frac{5}{2}<\frac{25}{8}
所以\frac{5}{4}|a_{n}-\frac{1}{2}|<|a_{n+1}-a_{n}|<\frac{25}{16}|a_{n}-\frac{1}{2}|
故|a_{n}-\frac{1}{2}|<|a_{n+1}-a_{n}|

第(4)題
因為a_{n+1}-\frac{1}{2} =\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n})^2-\frac{1}{2} =-\frac{1}{2}(a_{n}-\frac{1}{2})(a_{n}+\frac{1}{2})
又由(2)知，\frac{1}{2}<a_{n}+\frac{1}{2}<\frac{9}{8}
所以|a_{n+1}-\frac{1}{2}|<\frac{9}{16}|a_{n}-\frac{1}{2}|
故|a_{n}-\frac{1}{2}|會收斂到0，即a_{n}收斂到\frac{1}{2}

若有疏漏、誤植，再請提醒指正。感謝

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 09:24 編輯 ]

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Superman

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20^# 大中小發表於 2025-4-3 13:36 只看該作者

請問第9題
如果把已知條件當中的
|x|=|y|=|z|
換成是x^2+y^2+z^2=9/4+sqrt(15)/2*i，
有辦法搭配另外兩個條件證明 |x|=|y|=|z| 嗎？

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