第 17 題
題目：將 \(8\) 件不同的物品全部分給甲、乙、丙三人，若其中一人至少得 \(1\) 件，一人至少得 \(2\) 件，另一人至少得 \(3\) 件，則分法有 \(N\) 種。將相同的蘋果 \(4\) 個及相同的梨子 \(6\) 個，全部分給丁、戊、己三人，若每人至少得 \(1\) 個(不論是蘋果或梨子)，則分法有 \(M\) 種。求 \(N+M\) 之值=_______。
解答：
\(\displaystyle N = n(\mbox{每人至少得一件}) - n(\mbox{某兩人各得一件，第三人獨得六件})\)
\(\displaystyle = \left(3^8-C^3_1\times2^8 + C^3_2\times1\right) - \left(C^3_1\times\frac{8!}{1!1!6!}\right)\)
\(\displaystyle = 5628.\)
\(\displaystyle M = H_4^3 H_6^3 - C^3_1 H_4^2 H_6^2 + C^3_2 H_4^1 H_6^1\)
（↑ 這是排容原理）
\(\displaystyle = 318.\)
第 21 題
題目：若坐標平面上有一橢圓與 \(x\) 軸相切，且其焦點為 \(F_1(2，1)\) 與 \(F_2(6，2)\)，則此橢圓的短軸長為_______。
解答：
\(\displaystyle \overline{F_1F_2} = \sqrt{17} = 2c.\)
將 \(\displaystyle F_1\) 對稱 \(\displaystyle x\) 軸得 \(\displaystyle F_1'(2,-1)\)，
\(\displaystyle \overline{F_1'F_2} = 5 =2a.\)
（↑ 畫張圖來看看，想想光學性質就知道了）
\(\displaystyle \Rightarrow 2b=\sqrt{\left(2a\right)^2-\left(2c\right)^2}=2\sqrt{2}.\)
第 27 題
題目：設甲箱內有 \(2\) 白球，乙箱內有 \(3\) 紅球，現在每次各自箱中隨機取一個球交換，若經過長期達穩定狀態後，求有 \(2\) 紅球在甲箱內的機率=_______。(最簡分數)
解答：
轉移矩陣 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle0&\frac{1}{6}&0\\1&\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\\0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
其中上方由左至右分別表示的狀態是甲箱中有兩白、一白一紅、兩紅
轉移成左方的狀態由上而下分別是是甲箱中有兩白、一白一紅、兩紅
（↑ 矩陣裏面的數字要自己算一下喔～算起來很快的！）
再由 \(\displaystyle A\left[\begin{array}{c}x\\y\\x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\y\\x\end{array}\right]\) 且 \(\displaystyle x+y+z=1\)，
可解得 \(\displaystyle x=\frac{1}{10}, y=\frac{3}{5}, z=\frac{3}{10}.\)
