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113臺南二中

kobelian

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1^# 大中小發表於 2024-4-27 19:04 只看該作者

113臺南二中

想請問老師 9 10 12

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113臺南二中.pdf (325.55 KB): 2025-4-2 11:33, 下載次數: 4068

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2024-4-27 19:19 只看該作者

6.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(\sqrt{1}+\sqrt{8}+\sqrt{27}+\ldots+\sqrt{n^3})^2}{n^5}=\)　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

9.
設\(x\)為實數，則\(\sqrt{x^4-4x^2-12x+25}+\sqrt{x^4+2x^2+1}\)的最小值為　　　。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

二、計算證明題
1.
設\(n\)是正整數，\(A=\left[\matrix{-1&4&2\cr-1&3&1\cr-1&2&2}\right]\)，試計算\(A^n\)。
我的教甄準備之路　矩陣n次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

2.
設\(\Delta ABC\)的三邊長為\(a,b,c\)，面積記為\(\Delta\)，試證明：\(\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta}\ge 4\sqrt{3}\)。
(1961IMO，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_2)

4.
設\(\Delta ABC\)外接圓的半徑為\(R\)；內切圓的半徑為\(r\)；外新為\(O\)；內心為\(I\)，試證：\(\overline{OI}^2=R^2-2Rr\)。
連結有解答https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122768

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thepiano

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3^# 大中小發表於 2024-4-27 20:28 只看該作者

回覆 1# kobelian 的帖子

第 12 題
在\(\triangle ABC\)中，已知\(\displaystyle \frac{a+b}{a}=\frac{sinB}{sinB-sinA}\)，且\(cos(A-B)+cosC=1-cos2C\)，則\(\displaystyle \frac{a+c}{b}=\)　　　。
[解答]
(a + b) / a = sinB / (sinB - sinA) = b / (b - a)
ab = b^2 - a^2

cos(A - B) + cosC = 1 - cos2C
cos(A - B) - cos(A + B) = 2(sinC)^2
sinAsinB = (sinC)^2
ab = c^2

利用 ab = b^2 - a^2 ，把 a 用 b 表示
再利用 ab = c^2 ，也可把 c 用 b 表示
最後可求出答案

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Danny920

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4^# 大中小發表於 2024-4-27 21:13 只看該作者

9.
設\(x\)為實數，則\(\sqrt{x^4-4x^2-12x+25}+\sqrt{x^4+2x^2+1}\)的最小值為　　　。
[解答]
原式 = [ (2x-3)^2 +(x^2-4)^2 ]^1/2 + [ (2x-0)^2 + (x^2-1)^2 ] ^1/2

令 A在拋物線y = x^2/4 上，B(3,4)，C(0,1) ， L： y = -1

所求 = AB +AC = AB+ d(A,L) = d(B,L) = 4 - (-1) = 5

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Dragonup

黃色老鼠

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5^# 大中小發表於 2024-4-27 22:58 只看該作者

回覆 1# kobelian 的帖子

#10
在平面\(\pi\)上有一直角三角形，其中\(\angle BCD=90^{\circ}\)，\(\angle CBD=30^{\circ}\)，另一個等腰直角\(\triangle ABC\)所在的平面垂直於平面\(\pi\)，其中\(\angle BAC=90^{\circ}\)，若\(\overline{CD}=4\)，求\(\overline{AD}\)與\(\overline{BC}\)間的距離為　　　。
[解答]

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zj0209

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6^# 大中小發表於 2024-4-28 21:54 只看該作者

想請教一下填充11 與計算3 謝謝

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weiliu0417

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7^# 大中小發表於 2024-4-29 08:55 只看該作者

回覆 6# zj0209 的帖子

11.
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}3^{k-1}\cdot 2^{9-k}\cdot k^2C_k^{10}=\)　　　。
[解答]
提出 \(\displaystyle \frac{5^{10}}{6}\)
後面\(\sum\)可以看成是X~B(10,0.6)求\(E(X^2)\)

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kobelian

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8^# 大中小發表於 2024-4-30 08:17 只看該作者

回覆 1# kobelian 的帖子

請問老師第三題幾何的作法

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Ellipse

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9^# 大中小發表於 2024-4-30 14:28 只看該作者

引用:

原帖由 kobelian 於 2024-4-30 08:17 發表
請問老師第三題幾一一何的作法

有試過，除了答案1比較好猜，其他答案畫圖沒那麼明顯看得出來

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Dragonup

黃色老鼠

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10^# 大中小發表於 2024-4-30 17:25 只看該作者

回覆 6# zj0209 的帖子

計算三：
以\(O\)為原點的\(xy\)平面上，取二點\(A(\sqrt{3},1)\)，\(B(-1,\sqrt{3})\)，\(t\in R\)，點\(P\)滿足\(\vec{OP}=t^2\vec{OA}+t\vec{OB}\)，求\(P\)點的軌跡與\(x\)軸所圍成的圖形的面積。
[解答]

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