99中興高中

22題   P(6sin角，6cos角)  <-要更正

想請教老師們
第1,20,
29(答案有給錯嗎..我算-3/2 ...利用定義可把x-1消掉再再入x=1)......
25(答案對嗎...我算19/221,,,,(0.95*0.08)/(0.05*0.2+0.95*0.92)...不知錯在哪..).
感謝幫忙

第 1 題：一道光線通過原點 \(O\) 後，沿著 \(y\) 軸射向直線 \(L:\, x-3y+3=0\)，碰到直線 \(L\) 後，假設光線依光學原理反射後，通過 \(x\) 軸上的點坐標 \((a, 0)\)，求實數 \(a\) 值？

解答：

將原點對稱直線 \(L\) 可得點 \(A\)，

直線 \(L\) 與 \(y\) 軸交於 \(B(0,1)\)，

直線 \(\overleftrightarrow{AB}\) 與 \(x\) 軸的交點即為所求。






第 25 題：已知豬得口啼疫的比率為 \(0.05\)，今有一口蹄疫檢驗，對健康的豬能作出正確檢驗的機率為 \(0.92\)，對罹患口蹄疫的豬能作出正確檢驗的機率為 \(0.80\)，今有一豬作此檢驗，求此豬檢驗為健康，但其確實罹病的機率為____ (最簡分數)。

解答：
　　　　　　　　┌驗出口蹄疫　0.8
　豬確實得口蹄疫┤
┌0.05　　　　　└未驗出口蹄疫　0.2　（○）
│
└0.95　　　　　　┌驗出口蹄疫 0.08
　豬確實未得口蹄疫┤
　　　　　　　　　└未驗出口蹄疫　0.92（●）

所求 \(\displaystyle=\frac{0.05\times0.2}{0.05\times0.2+0.95\times0.92}=\frac{5}{442}.\)





第 29 題：設 \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{4}\)，求導函數 \(f'(1)=\)_______。(最簡分數)

lovesun 算的答案 \(\displaystyle-\frac{3}{2}\) 沒錯，看來是官方答案給錯了。

一、應考人反映：第29題答案應為-3/2而非原公告之答案8/3，經本校請閱卷老師針對該題重新評閱及計分，爰請應考人重新上網查詢成績。
二、進入複試名單及進入複試最低分數仍應以本校正式公告為準(查詢筆試成績備註欄所述之最低標準係方便應考人複查參考)，併予敘明。
h ttp://163.22.41.201/board/view.asp?ID=6315　(連結已失效)

感恩老師.................................^^

感謝...^^"因為在這邊直接抓考題..所以沒有注意到有修正答案..^^"

11題可用黃金比例φ=[1+sqrt(5)]/2   (φ^2=φ+1)
解聯立
(1)  z=φy
(2)  x+2y=φ(y+z)
x=1, z=φy代入(2)得1=(φ^2+φ-2)y
=> y=1/(φ^2+φ-2)=1/(2φ-1)=1/sqrt(5)=sqrt(5)/5
=> x+5y+5z=1+5y(1+φ)=1+sqrt(5)*[3+sqrt(5)]/2=[7+3sqrt(5)]/2

第 20 題：
三個\(8cm \times 8cm\)的正方形都被連接兩條鄰邊中點的直線分成\(A\)、\(B\)兩片，並將這六片粘在另一個正六邊形的邊上(接縫部分不計)，然後折成一個多面體。求此多面體的體積為　　　\(cm^3\)。
[解答]
我的做法很麻煩，期待有人能提供更快的作法。



先把拼起來的立體圖形的高 \(\displaystyle\sqrt{\left(6\sqrt{2}\right)^2-\left(2\sqrt{6}\right)^2}=4\sqrt{3}\) 算出來，

然後把三個缺掉的小三角錐補上，

三個多補上的小三角錐的底面是邊長為 \(4\sqrt{2}\) 的小正三角形，

補上之後整個大三角錐的底面變成是邊長為 \(12\sqrt{2}\) 的大正三角形，

然後算出大三角錐由上方頂點到底面的頂點之稜長 \(12\)，

最算出三個小三角錐由上方頂點到底面頂點的稜長是 \(4\)、高是 \(\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}\)，

最後所求體積 ＝ 大三角錐體積 － 三個小三角錐體積

　　　　　　\(\displaystyle=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\left(12\sqrt{2}\right)^2\times4\sqrt{3}-3\times\left(\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\left(4\sqrt{2}\right)^2\times\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)\)

　　　　　　\(\displaystyle=288-32\)

　　　　　　\(\displaystyle=256.\)



Note: 算完之後，剛剛才發現三個小三角錐剛好是大三角錐邊長縮小為原來的 \(\displaystyle \frac{1}{3}\) 倍。:-P

這樣就很簡潔了呀！

不過如果在計算體積前有注意到要截掉的三個小三角錐其側面三角形皆等腰直角三角形的話
就可以注意到這三個小的會與大三角錐的相似, 且邊長為大的1/3 (故體積為大的1/27)

計算就能簡化為
先算高{12^2-[4sqrt(6)]^2}^(1/2)=4sqrt(3)
所求體積=(1/3)*[sqrt(3)/4][12sqrt(2)]^2*4sqrt(3)*[1-3(1/27)]=288*8/9=256

題外話
請問瑋岳兄是否有參加2010高中教師研習(高大應數森棚教官, 週日場)？
我當天看到一位很像您
可是研習名單裡卻沒見到

剛發現還有問第5題

第5題
若\((x^{2000}-1)\)除以\((x^4+x^3+2x^2+x+1)\)之餘式為\(ax^3+bx^2+cx+d\)，則實數\(a+b+c+d\)之值=　　　。(最簡分數)
[解答]
令f(x)=x^2000-1
因x^4+x^3+2x^2+x+1=(x^2+x+1)(x^2+1)=(x-w)(x-w^2)(x-i)(x+i) 其中w=[-1+sqrt(3)i]/2
=> f(x)=(x-w)(x-w^2)(x+i)(x-i)q(x)+ax^3+bx^2+cx+d
i, w分別代入f(x)得
0=ai^3+bi^2+ci+d=(d-b)+(c-a)i  =>  b=d, a=c...(1)
w^2-1=aw^3+bw^2+cw+d=a+d+b(-1-w)+cw  (因1+w+w^2=0)
=> -2-w=(a+d-b)+(c-b)w
=> a+d-b=-2, c-b=-1...(2)
(1),(2)解得a=-2, b=-1, c=-2, d=-1
=> a+b+c+d=-6

113.4.28補充
多項式\(f(x)=x^{130}-1\)，\(g(x)=x^4-x^3+2x^2-x+1\)，求\(f(x)\)除以\(g(x)\)的餘式為　　　。
(113桃園高中，https://math.pro/db/thread-3852-1-1.html)