112師大附中

請問您能實際寫出
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
的每一個步驟嗎？

這要打不少字…我截chu的圖吧
先看第一個式子

因為\(x, y, \sqrt{18}>0\)所以可以視為三角形的三邊，而且x, y的夾角90度，可以畫成下面的樣子

另兩個式子亦同，然後把三個三角形一樣長的邊組合起來，就變成chu那個圖…
接下來就一樣了…

我猜你的疑問是餘弦定理的(條件)跟(結果的式子)是不是若且唯若的吧？

其實這方法我是第一次看到，覺得很神奇，
跟在教書的學生分享，他卻跟我說，這是基本的，他的講議有…

要拼得起來需要剛好角度和是整數圈，
考慮負數時不一定能拼起來吧？

另外不管能不能拼起來，
都還是要知道兩邊和大於第三邊，
三角形才真的存在吧？

不一定會剛好360度喔，但這題它就是設計剛好是(不然做不下去)。
負數可以視為有向邊，或是往反向畫長度|x|，然後角度變成\(\pi-\theta\)。若x,y,z正，是會滿足的，從式子上直接可以看出來。
因為c^2=a^2+b^2-2abcost>=(a-b)^2=(b-a)^2
且c^2=a^2+b^2-2abcost<=(a+b)^2
所以由c>=a-b, c>=b-a, c<=a+b，可以知任兩邊和大於第三邊。
這應該教餘弦的時候會說明。

負的話也可以，只是往反向畫長度|x|，然後角度變成\(\pi-\theta\)，一樣任兩邊和大於第三邊。

請問出現部分負數的情形，應該有拼不起來的吧？
不然2^3=8，應該有8組解，但軟體算實際是4組。

不會拼不起來，因為角度就設計好剛好360度。

應該8組，但
正正正跟負負負一樣，圖形對原點對稱
正正負跟負負正一樣，圖形對原點對稱
正負正跟負正負一樣，圖形對原點對稱
正負負跟負正正一樣，圖形對原點對稱
所以可以只看四組…

晚點、或明天我重新寫個完整的答案好了…
有點懶的畫圖…

借用chu的圖

(1) 若x>0, y>0, z>0圖形為

於是\(\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
(2) 若x<0, y>0, z>0圖形為

於是\(\triangle OAB-\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x|y-\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(3) 若x>0,y<0,z>0圖形為

於是\(\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(x|y|+\frac{|y|z}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(4) 若x<0, y<0, z>0圖形為

於是\(-\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-|x||y|+\frac{|y|z}2+\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(5) 若x<0,y<0,z<0，圖形跟(1)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x||y|+\frac{|y||z|}2+\frac{\sqrt{3}|x||z|}2)=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
(6)若x>0, y<0, z<0，圖形跟(2)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB-\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(x|y|-\frac{|y||z|}2+\frac{\sqrt{3}x|z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(7)若x<0,y>0,z<0，圖形跟(3)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x|y+\frac{y|z|}2-\frac{\sqrt{3}|x||z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(8)若x>0, y>0, z<0，圖形跟(4)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(-\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-xy+\frac{y|z|}2+\frac{\sqrt{3}x|z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)

其實只要O點在三角形ABC外，就會是\(-6\sqrt{22}\)，在三角形ABC內，就會是\(6\sqrt{22}\)。

軟體的四組，沒有將正正正跟負負負合併為一組。

應該8組，因為沒有給初始值，所以電腦會自己亂找。
ellipse用mathlab跑，找出4組，已經算好的了。
我用maple跑，只找出2組。
但初始值給的好，跑出比較多，這題應該可以全跑出來。
別的就不一定了，要看解是不是stable，這扯太遠了，詳細要看一下數值分析。

原題可化為\(\begin{cases} x^2+y^2-2xy\cos 90^\circ=(3\sqrt{2})^2\\
y^2+z^2-2yz\cos 150^\circ=(\sqrt{13})^2\\
x^2+z^2-2xz\cos 120^\circ=(\sqrt{19})^2\end{cases}\)
建構\(\overline{OA}=x, \overline{OB}=y, \overline{OC}=z\)皆為有向長度(可正可負)。
且\(\angle AOB=90^\circ, \angle BOC=150^\circ, \angle AOC=120^\circ\)。
而\(\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCA\)也是有向面積。
於是\(|\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA|=3\sqrt{\frac{11}2}\)
所以\(\frac12|xy\sin 90^\circ+yz\sin150^\circ+xz\sin120^\circ|=\frac12|xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2|=3\sqrt{\frac{11}2}\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\pm 6\sqrt{22}\)