111中壢高中

題目跟解答在二樓

[ 本帖最後由 Gary 於 2022-4-24 09:47 編輯 ]

題目已釋出

1.
試求級數\(\displaystyle \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{3^6-64}+\frac{3\cdot 5 \cdot 7}{5^6-64}+\frac{5\cdot 7\cdot 9}{7^6-64}+\ldots+\frac{19\cdot 21 \cdot 23}{21^6-64}\)之和為　　　。

8.
矩陣\(A=\left[\matrix{11&9 \cr -6&-4} \right]\)，\(I_2=\left[\matrix{1&0 \cr 0&1}\right]\)，若有兩矩陣\(P\)、\(Q\)且滿足\(\cases{5P+2Q=A \cr P+Q=I_2}\)，且\(A^4=aP+bQ\)，試求\(log_{10}ab\)為　　　。

設兩矩陣\(P\)、\(Q\)滿足\(\cases{3P+4Q=A \cr P+Q=I_2}\)，其中\(A=\left[\matrix{1&-3 \cr 2&6} \right]\)，\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，若\(A^7=aP+bQ\)，則\(log_{12}\frac{1}{ab}=\)　　　。
(101台中女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5463)
我的教甄準備之路　矩陣n次方

請教第 5、7 題

填5
(b+c)² [sin(A/2)]² +(b-c)²[cos(A/2)]² =13²+(8√3)²
整理得b²+c²-2bc{ [cos(A/2)]² -[sin(A/2)]² } =361
b²+c²-2bc*cosA =361
由餘弦定理得a² =361 , a=19

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-24 13:11 編輯 ]

PA和軸的夾角和QA和軸的夾角相同
就可以解出來了

想請教第9題，謝謝老師們

第9題
湊一湊
\(\begin{align}
  & z=\frac{32}{x-yi}=\left( \frac{32x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)+\left( \frac{32y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)i \\
& z=\left( x',y' \right)=\left( \frac{32x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}},\frac{32y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right) \\
&  \\
& {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8 \\
& x=2\sqrt{2}\cos \theta -2,y=2\sqrt{2}\sin \theta +2 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( 2\sqrt{2}\cos \theta -2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{2}\sin \theta +2 \right)}^{2}}=16+8\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right) \\
& x-y=-4-2\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right) \\
&  \\
& x'-y'=\frac{32\left( x-y \right)}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{32\left[ -4-2\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right) \right]}{16+8\sqrt{2}\left( \sin \theta -\cos \theta  \right)}=-8 \\
& x-y+8=0 \\
\end{align}\)

天啊，居然是這樣湊餘弦定理…沒看出來Orz

填5.我是直接構圖...