99松山家商

題目與答案

可以請教一下
填充第3,6兩題
計算4,5,7
如何計算嗎?
謝謝

填充第 3 題：

有一台測謊機，當受測者說實話時，它測得對方說實話的機率為0.9，而當受測者說謊話時，它測得對方說謊話的機率為 0.8。又有甲、乙、丙三人，他們不是說實話就是說謊話，每個人說實話的機率分別都是 0.5，而且不互相影響。今袋中有 2 白球3 黑球，從中隨機取出1 球，甲乙丙看完後都說是黑球，再接受此機器測謊，它卻宣稱甲乙說實話而丙說謊話。請問該球確實是黑球之機率為何？

解答：

\(\displaystyle P\left(抽到黑球\Big|\mbox{機器宣稱甲乙說實話而丙說謊話}\right)\)

\(\displaystyle =\frac{P(\mbox{抽到黑球且機器宣稱甲乙說實話而丙說謊話})}{P(\mbox{機器宣稱甲乙說實話而丙說謊話})}\)

\(\displaystyle =\frac{P(\mbox{抽到黑球且機器宣稱甲乙說實話而丙說謊話})}{P(\mbox{抽到黑球且機器宣稱甲乙說實話而丙說謊話})+P(\mbox{抽到白球且機器宣稱甲乙說實話而丙說謊話})}\)



\(\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{10}}{\displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{10}\cdot\frac{2}{10}\cdot\frac{8}{10}}\)



\(\displaystyle =\frac{243}{307}.\)

填充第 6 題

將 \(xy\) 平面上的區域 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}x^2+y^2\leq1\\ x\leq0, y\geq0\end{array}\right.\) 繞 \(xy\) 平面上的直線 \(x = y\) 在空間中旋轉一圈所得的旋轉體體積為何？

解答：

將圖形順時針旋轉 \(45^\circ\)，


題目所求變成要求上圖區域繞 \(x\) 軸旋轉的體積。

所求體積 \(\displaystyle=2\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \pi \left(\left(1-x^2\right)-x^2\right)dx=\frac{2\sqrt{2}\pi}{3}.\)

演算題第 4 題：



如圖，在座標平面上，將橢圓 \(\displaystyle\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\) 的上半部及圓 \(x^2 + y^2 = 4\) 的下半部組合而成一封閉曲線(其中， \(A, B\) 為此橢圓與圓的交點)。

今有一光線從此橢圓的一焦點 \(F_1\) 射向橢圓上半部的 \(P\) 點，依光學原理反射至下半圓的 \(Q\) 點，再依光學原理反射至下半圓的 \(R\) 點，再依光學原理反射。

若 \(\overline{QR} //\overline{AB}\) 且在 \(R\) 點的反射線通過 \(F\) , 請求出四邊形 \(FPQR\) 的周長及面積。



解答：

如上圖，設 \(O\) 為原點，

顯然 \(F_1P+PF_2=\mbox{橢圓長軸長}=4.\)

在 \(Q,R\) 兩點的入射角等於反射角，所以 \(∠ 1=∠2\) 且 \(∠ 3=∠4\)

因為 \(F_1F_2//QR\)，所以 \(∠ 2=∠ 5\) 且 \(∠ 3=∠7\)

因為 \(OQ=OR\)，所以 \(∠ 2=∠3\)

因此，\(∠ 1=∠2=∠ 3=∠4=∠ 5=∠7\)，

\(F_2Q=OF_2=\sqrt{3}\) 且 \(F_1R=OF_1=\sqrt{3}\)

因為 \(\triangle OQR\) 相似於 \(\triangle F_2QO\)，

所以 \(\displaystyle QR:OR=OQ:OF_2\Rightarrow QR=2\times\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.\)

所以四邊形 \(FPQR\) 的周長 \(\displaystyle=4+\sqrt{3}+\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}=4+\frac{10\sqrt{3}}{3}.\)





至於面積，沒想到更好的方法，只有想到硬作，

（就是硬找出 \(P\) 的坐標，再求面積。其實可以找每個點的坐標，剛剛的周長也不是問題。＝＝）

在 \(\triangle OF_2Q\) 中，\(\displaystyle\cos∠OF_2Q=\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2-2^2}{2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{3}.\)

所以，\(\displaystyle\cos∠OF_2P=\frac{-1}{3}\Rightarrow \tan∠OF_2P=-2\sqrt{2}\)

（順便多算一個 \(\displaystyle\sin∠OF_2P=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)）

可得直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 的方程式為 \(y=-2\sqrt{2}\left(x+\sqrt{3}\right).\)

在與橢圓的方程式，解聯立方程式，可得 \(P\) 點的 \(y\) 坐標為 \(\displaystyle\frac{12\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{33}.\)

所求面積\(=\triangle PF_1F_2\mbox{面積}+\triangle OF_2Q\mbox{面積}+\triangle OQR\mbox{面積}+\triangle ORF_1\mbox{面積}\)

\(\displaystyle= \frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot\frac{12\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{33}+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}++\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}++\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\displaystyle=\frac{104\sqrt{2}+12\sqrt{6}}{33}.\)

（寫的很長，如有小錯希望不吝告知。感激。^__^）

演算題第 7 題：

設 \(k\) 為實數。若對於任意實數 \(t\)，關於四個未知實數 \(x, y, z,w\) 的方程組

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc} -tx+2y+0z+kw&=&0\\
-2x-ty+0z+0w&=&0\\
0x+4y+(-1-t)z-2w&=&0\\
0x+0y+2z+(-1-t)w&=&0\end{array}\right.\)

皆只有唯一一組解 \(x = 0, y = 0, z = 0,w = 0\)，試求出 \(k\) 的範圍。

解答：

令 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}-t&2&0&k\\
-2&-t&0&0\\
0&4&(-1-t)&-2\\
0&0&2&(-1-t)
\end{array}\right]\)

因為 \(A\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=0\) 之 \(x,y,z,w\) 只有唯一一組解。

所以 \(A\) 的反矩陣存在 \(\Rightarrow det\left(A\right)\neq0\)

\(\Rightarrow t^4+2t^3+9t^2+8t+16k+20\neq0\)

令 \(f(t)=t^4+2t^3+9t^2+8t+16k+20\)

則對任意實數 \(t\)，\(f(t)>0\) 恒成立。

由 \(\displaystyle f'(t)=0\Rightarrow t=\frac{-1}{2}\)

可知 \(f(t)\) 的最小值為 \(\displaystyle f(\frac{-1}{2})=\frac{256k+289}{16}\)

由 \(\displaystyle f(\frac{-1}{2})=\frac{256k+289}{16}>0\) 可得 \(\displaystyle k>\frac{-289}{256}.\)

故，當 \(\displaystyle k>\frac{-289}{256}\) 時，\(f(t)>0\) 恒成立 \(\Leftrightarrow A\) 的反矩陣成存在

\(\Leftrightarrow\)  題目的聯立方程組有唯一一組解。

演算第 5 題：

(1)如下之街道圖中，每一小格皆是邊長 1 單位的正方形。
為了方便，我們簡稱此街道圖的規格為8×4。



小松從 A 點出發，要沿著街道走捷徑到 B 點。因為溽暑難耐，
他每走 1 單位或每走2 單位就停下來休息一下。

請問，在如上所述的條件下，從 A 到 B 共有幾種走法？

(2)我們可將(1)中之街道圖規格改為 m×n (m,n為正整數)，而在(1)所述的規
則下，考慮從 A 到B 共有幾種走法。

設規格為m×n , m×(n+1) , (m+1)×(n+1) 的街道圖所對應之走法數分別是
x , y , z ，請將 z 用 x, y 及 m,n 表示。





解答：

令 \(f(n) =\) 路徑長共需 \(n\) 單位時，每次走 \(1\) 或 \(2\) 單位就需停頓休息，所有停頓點排列的可能數。

則 \(f(1)=1,\, f(2)=2,\, f(n)=f(n-1)+f(n-2) \,\forall n\geq 3\)

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
\(f(n)\)	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

(1)

所求 \(=\mbox{A 到 B 的所有捷徑走法}\times f(12)=495\times233=115335.\)


(2)

\(\displaystyle x=\frac{\left(m+n\right)!}{m!n!}f(m+n)\Rightarrow f(m+n)=\frac{x\cdot m!\cdot n!}{\left(m+n\right)!}\)


\(\displaystyle y=\frac{\left(m+n+1\right)!}{m!\left(n+1\right)!}f(m+n+1)\Rightarrow f(m+n+1)=\frac{y\cdot m!\cdot \left(n+1\right)!}{\left(m+n+1\right)!}\)


\(\displaystyle z=\frac{\left(m+n+2\right)!}{\left(m+1\right)!\left(n+1\right)!}f(m+n+2) \Rightarrow f(m+n+2)=\frac{z\cdot (m+1)!\cdot (n+1)!}{\left(m+n+2\right)!}\)


再由 \(f(m+n+2)=f(m+n+1)+f(m+n)\)，可得如下


\(\displaystyle\frac{z\cdot (m+1)!\cdot (n+1)!}{\left(m+n+2\right)!} =\frac{y\cdot m!\cdot \left(n+1\right)!}{\left(m+n+1\right)!}+\frac{x\cdot m!\cdot n!}{\left(m+n\right)!},\)


化簡後可得如下，

\(\displaystyle z=\frac{m+n+2}{m+1}y+\frac{(m+n+2)(m+n+1)}{(m+1)(n+1)}x.\)

想請問演算題第1題與第6題，請各位大大幫忙，感謝。

第1題,請考慮左右兩邊除以4所得的餘數....mod4(一個整數平方除以4的餘數必為0或1其中一者)
第6題,由平均數可知其他九人成績和,由樣本變異數可發現其他九人成績平方和
          此時針對這九人成績使用柯西不等式,再將成績平方和的部份代換成變異數,最後開根號即所得

[ 本帖最後由 八神庵 於 2010-7-8 09:36 AM 編輯 ]

感謝神庵大高手的解說，讓小弟又學到了不少，謝謝。