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原帖由 anyway13 於 2021-7-31 22:57 發表 
板上老師好
請問填充9,要怎麼做出p=11呢?
一個一個從p=1測試,和不會做在考場裡面是一樣的
我也分享一個方法
說來慚愧，我對於手算開根號真的不熟練，所以只好想其他方法
從\(\sqrt{433},\sqrt{434}\)可以推得\(20<\frac{q}{p}<21\)，設\(q=20p+k,\,\,0<k<p\), \(k\)為整數
平方後得到 \(\displaystyle 433<\frac{400p^2+40pk+k^2}{p^2}<434 \) => \(\displaystyle 33<\frac{40k}{p}+\frac{k^2}{p^2}<34 \) ，其中\(0<\frac{k^2}{p^2}<1\)
所以可推得\(\displaystyle 32<\frac{40k}{p}<34 \)，即 \(\displaystyle 0.8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}<\frac{k}{p}<\frac{17}{20}=0.85 \)。
利用上面的不等式，去找出可能的\(\frac{k}{p}\)
從\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{k}{p}\)，先找分母比分子恰巧多1的情形：\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{5}{6}<\frac{17}{20}\)。而\(\displaystyle\frac{6}{7}>\frac{17}{20}\)，不合。
故分子分母恰差1的情況，只可能是\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{5}{6}\)
從\(\displaystyle\frac{8}{10}<\frac{k}{p}\)，再找分母比分子恰巧多2的情形：\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{9}{11}<\frac{17}{20}\)，且\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{11}{13}<\frac{17}{20}\)。而\(\displaystyle\frac{13}{15}>\frac{17}{20}\)，不合。
故分子分母恰差2的情況，只可能是\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{9}{11}\)或\(\displaystyle\frac{11}{13}\)
先試試看吧，都不合再來找分子分母差3以上的。
接著用\(\displaystyle 33<\frac{40pk+k^2}{p^2}<34 \)找出真的可行的
若\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{5}{6}\)，則\(\displaystyle\frac{1200+25}{36}=\frac{1225}{36}>34\)不合
若\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{9}{11}\)，則\(\displaystyle\frac{3960+81}{121}=\frac{4041}{121}≈33.4\)，符合
故選擇\(p=11,\,k=9\)，即\(q=20*11+9=229\)，所求為\(\frac{229}{11}\)
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本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-8-17 10:26 編輯 ]
