110臺北市高中聯招

2.
求方程式\(\root 3 \of{(10+x)^2}+\root 3 \of{(3+x)^2}=\root 3 \of{(10+x)(-3-x)}+7\)的所有解\(x\)。

tan兩線夾角\(\displaystyle =\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\)

多選1(E)
大概能知道是考「黎曼重排定理」
可是想不出實際的例子

想請教各位老師們，協助提供實際的例子

1.
下列關於數列與級數的述敘，選出正確的選項。
(A)一個數列有可能同時是等比數列也是等差數列
(B)一個數列有可能不是等比數列也不是等差數列
(C)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發散，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必發散
(D)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必收斂
(E)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{4n-3}+a_{4n-1}+a_{2n})\)必收斂
[解答]
(E) 反例
\( a_{n}=(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}} \)

\( a_{n} \) 遞減，且 \( \lim\limits _{n\to\infty}a_{n}=0 \)，因此 \( \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n} \) 收斂，令 \( A=\sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n} \)

\( \sum\limits _{k=1}^{n}\left(a_{4k-3}+a_{4k-1}+a_{2k}\right)=\left(\sum\limits _{k=1}^{2n}a_{k}\right)+\left(\sum\limits _{k=n+1}^{2n}a_{2k-1}\right) \)

其中 \( \sum\limits _{k=1}^{2n}a_{k}\to A \), \( \sum\limits _{k=n+1}^{2n}a_{2k-1}=\sum\limits _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}=\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{2n+1}}{2}=\frac{\sqrt{n}}{2}\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-\sqrt{2+\frac{1}{n}}\right) \)。

因此 \( n \to \infty \) 時，\( \sum\limits _{k=1}^{n}\left(a_{4k-3}+a_{4k-1}+a_{2k}\right) \) 的極限不存在

多選2
2.
在複數平面上，\(z,z^2,z^3\)構成一個直角三角形的三個頂點，且\(|\;z|\;=2\)。請問下列哪些選項，可以是主輻角\(Arg(z)\)的值？
(A)\(\pi\)　(B)\(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\)　(D)\(\displaystyle \frac{4\pi}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{5\pi}{3}\)
[解答]
假設A點:z=2(cosθ+i*sinθ) ,B點:z² ,C點 :z^3
(1)若∠A為直角,則(z^3-z) /(z²-z)= z+1 =(2cosθ+1)+i*2sinθ
    且2cosθ+1=0 ,cosθ= -1/2 ,θ=2π/3 或4π/3
(2)若∠B為直角,則(z^3-z²) /(z-z²)= -z= -2cosθ-i*2sinθ
   且 -2cosθ=0 ,θ=π/2 或3π/2
(3)若∠C為直角,則(z-z^3)/(z²-z^3)= (1+z)/z =(1/z) +1 =[(1/2)cos(-θ)+1] +(1/2)sin(-θ)*i
   且(1/2)cos(-θ)+1 =(1/2)cosθ+1=0 ,cosθ= -2 不合

註:當然可以把五個選項逐一代入檢驗

謝謝寸絲老師的幫忙！

謝謝 ChuCH老師 以及Ellipse老師的解答!!!!

感激不盡~  覺得又學到了很多技巧XD

請教 (17/27)(E(X)+1) 怎麼解釋?  謝謝。

不分勝負的話 平均還要在E(X)次 但因為前面有猜過一次了 所以E(X)+1

分出勝負的機率是10/27
也就是平均而言，27場會有10場分出勝負
期望值2.7場能分出勝負(也就是倒數)

不過考試我不才敢這樣寫XD