回復 10# tsusy 的帖子
計 3. 55# \( f(k) \) 我的記號混用了，sorry，沒注意到原本的 Sigma 也是用 k，兩個 k 要用不同的記號表示才可以。
對於任意整數 n, \(f(x + n) = f(n) + f(x)\), \(f(n) = n \cdot ({2^{100}} - 1) \)。
填充 7. 原 10# 處，代換間的 Jacobian Matrix 實際上固定的，也就是說它實際上是個線性變換
(其實應該在算 Jacobian Matrix 之前，就知道了)
所以我們也會用線性變換來處理的方法：
令集合 \({S_0} = \{ (\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mid |\alpha | \le 1,|\alpha + \beta | \le 1,|\alpha + \beta + \gamma | \le 1\} \), \({S_1} = \{ (u,v,w)^T \mid |u| \le 1,|v| \le 1,|w| \le 1\} \)
以下將 \({\mathbb{R}^3}\) 及 \({\mathbb{R}^3}\) 中向量皆記為 \(3 \times 1\) 階的矩陣。\(V_{S_0},V_{S_1}, V_S\) 分別表示 \({S_0},{S_1},S\) 的體積。
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{T_1}:}&{{S_0} \to {\mathbb{R}^3},}\\{}&{(\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mapsto {{ {\alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup + \gamma \mathop c\limits^ \rightharpoonup } }}.}\end{array} \)
以上關係可表示為 \({ {\alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup + \gamma \mathop c\limits^ \rightharpoonup } } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \\\gamma \end{array}} \right) \)，
因此線性變換 \({T_1}\) 將 \({S_0}\) 映射至 \(S\)，故有 \({V_S} = |\det (\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array})|{V_{{S_0}}} = 6V \cdot {V_{{S_0}}} \)。
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{T_2}:}&{{S_0} \to {\mathbb{R}^3},}\\{}&{(\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mapsto (\alpha ,\alpha + \beta ,\alpha + \beta + \gamma )^T.}\end{array} \)
以上關係可表示為 \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\alpha + \beta }\\{\alpha + \beta + \gamma }\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \\\gamma \end{array}} \right) \)，
因此線性變換 \({T_2}\) 將 \({S_0}\) 映射至 \({S_1}\)，故有 \({V_{{S_1}}} = |\det (\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}} \right))|{V_{{S_0}}} = {V_{{S_0}}} \)。
而 \({V_{{S_1}}} = {2^3} = 8\)，故 \({V_S} = 6V \cdot 8 = 48V \)。
[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:41 編輯 ]
