計算1(a)
令 \( f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2 \)，則 \( a_{n+1}=f(a_{n}) \)
我們先分析三點數列的行為
(1) \( \{a_{n}\} \) 為遞增數列(單調遞增)：\( f(x)-x=\frac{1}{2}(x-2)^{2}\geq0 \Rightarrow x\leq f(x) \) 恆成立，且等號僅在 \( x=2 \) 時發生。
(2)若 \( 0\leq x\leq2 \)，\( f(x)-2=\frac{1}{2}x(x-2)\leq0 \Rightarrow0\leq x\leq f(x)\leq2 \)。
(3)若 \( \{a_{n}\} \) 收斂於 \( a \)，則 \( a=f(a) \Rightarrow a=2 \)。
當 \( a_{1}>2 \) 時，則 \( a_{n}\geq a_{1}>2 \)，故 \( \{a_{n}\} \) 發散(不能收斂於2，再由(3)得發散) 。
當 \( a_{1}<0 \) 時，則 \( a_{2}=f(a_{1})=f(2-a_{1})\geq2-a_{1}>2 \Rightarrow a_{n+1}\geq a_{2}>2 \)，故 \( \{a_{n}\} \) 發散。
當 \( 0\leq a_{1}\leq2 \) 時，\( \{a_{n}\} \) 為遞增數列且有上界 2，故 \( \{a_{n}\} \) 收斂於 2。
