99家齊女中

以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 67分
80,75,72,70,68,67

60~65分 7人
50~59分 14人
40~49分 31人
30~39分 19人
20~29分 10人
10~19分 4人
0~ 9分 6人
缺考　　0人

共計 97 人

2010.8.28更正答案
第4題為不存在
第9題的第(2)小題為\( ( \pi,1) \)

5.
在一邊長為\(n\)的正方形方格中，以向內螺旋的方式排列正整數，如下所示，為\(n=5\)的排列結果。若\(n=27\)，試求左上至右下的對角線上所有元素的和。
１ ２ ３ ４ ５
16 17 18 19 ６
15 24 25 20 ７
14 23 22 21 ８
13 12 11 10 ９

這題我在97花蓮高中就遇過這題，只是我到現在仍是不會，求教各位網友

109.6.16補充
在一邊長為\(n\)的正方形方格中，以最左下的位置為起始點，向內螺旋的方式排列正整數，如圖所示，
為\(n=3\)與\(n=5\)的排列結果。若\(n=15\)，試求左下至右上的對角線上所有元素的和為　　　
７６５
８９４
１２３

13 12 11 10 ９
14 23 22 21 ８
15 24 25 20 ７
16 17 18 19 ６
１ ２ ３ ４ ５
(109建功國中，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html)

10.
試求(1)\( \displaystyle \sum_{k=2}^{100} \Bigg[\; \frac{k^4}{k^2-1} \Bigg]\; \)之值
(2)\( \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \Bigg(\; \frac{k^4}{k^2-1}- \Bigg[\; \frac{k^4}{k^2-1} \Bigg]\; \Bigg)\; \)之值。
[提示]
(1) \( \displaystyle \Bigg[\; \frac{k^4}{k^2-1} \Bigg]\;=k^2+1+ \Bigg[\; \frac{1}{k^2-1} \Bigg]\; \)

(2)\( \displaystyle \frac{k^4}{k^2-1}- \Bigg[\; \frac{k^4}{k^2-1} \Bigg]\; =\frac{1}{k^2-1} \)

試試用補數觀念(用\(n^2+1\)去減)，從裡面排出來如何??

最後四題與雄中部份考題一模一樣
考古題萬歲論再現!!

在一邊長為\(n\)的正方形方格中，以向內螺旋的方式排列正整數，如下所示，為\(n=5\)的排列結果。若\(n=27\)，試求左上至右下的對角線上所有元素的和。
１ ２ ３ ４ ５
16 17 18 19 ６
15 24 25 20 ７
14 23 22 21 ８
13 12 11 10 ９

關於第五題
以中間\(n^2\)為中心(當然\(n\)必為奇數)
向右下角有一組規律
向左上角亦有一組規律
題目的例子是\(n=5\),亦可自行規劃出\(n=3,7,9\)就可以看的出來了

家齊抄很大  XD  很多題目都似曾相似
5.我想他的數字差會成等差
\(n=5\)   1,9,17,21,25  差  8  8  4  4
\(n=7\)   1,13,25,33,41,45,49  差  12  12  8  8  4  4
可以去推\(n=27\)時的情況  XD
每次遇到都這樣硬作

[*原作者為thepiano,代po文章*]

最中心是\(27^2\)

把對角線的27個數由大到小排列

列出其與\(27^2\)之差，依序是\(0，4，8，16，24，36，\ldots，27^2 - 1\)

上述數列\(= 1^1 - 1，2^2，3^2 - 1，4^2，5^1 - 1，6^2，......，27^2 - 1\)

故所求\(= 27^2 * 27 - (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + 27^2 - 14) = 12767\)

若\(n\)為奇數，則所求為\(\displaystyle \frac{4n^3 - 3n^2 + 2n + 3}{6}\)

家齊女中有公佈更正過後的答案
第四題為不存在
第九題的第(2)小題為(pi,1)

請問第 1 ，4，7，8，9之(1) 應如何做，請各位高手，幫忙提示，謝謝。

1.
\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\int_{x^2}^{x^3}\sqrt{1+t^2}dt}{x^2}= \)　　　。
[提示]
L'Hopital's Rule

4.
設\(P(x,y)\)為雙曲線\(9x^2-16y^2=144\)上一點，且點\(P\)為第一象限內，則\( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{x |\; 3x-y|\;}\)值為何？
[提示]
使用參數式

7.
設\(a\)為整數。若多項式\(f(x)=(x-2009)(x-2010)(x-a)-98\)有整係數之一次因式，試求\(a\)值。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1538#p3704

8.
設多項式\(f(x)\)領導係數為1且滿足\(xf(x-1)=(x-4)f(x)\)，試求多項式\(f(x)\)。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1537

9.(1)
若\(i=\sqrt{-1}\)，則\(z_1=cos32^{\circ}+i sin32^{\circ}+i\)的主幅角為\(\alpha\)，又\(\displaystyle z=cos \frac{2 \pi}{7}+i sin \frac{2 \pi}{7}\)，\(1-z\)的主幅角為\(\beta\)，求序對\((\alpha,\beta)\)。
[提示]
和差化積,二倍角與有向角

請教9(2)
\(A=\{\; z |\; z \in C,|\;z-1|\;=1 \}\;\)，\(B=\{\; \alpha |\; \alpha \in C, \alpha=iz \}\;\)，若\(Arg(\alpha-3)\)最大值為\(x\)，且\( |\; \overline{\alpha}+1 |\;=k \)，求序對\((x,k)\)。

問題
這個\( |\; \overline{\alpha}+1 |\;=k \)是定值嗎？