正八面體的塗色問體

8個顏色塗在正8面體,每面塗一色 有幾種不同的圖案?
請教一下,多謝
jack

先將正八面體當作是〝固定〞在空中，不可以任意旋轉翻轉的固體，

恰使用八種顏色塗上八個面，共有 \(8!\) 種方法。

接下來處理因為各種翻轉跟旋轉所導致的重複，


把八面體的某的頂點吊起來，

圖形會是上下有兩個四角錐的組合，

當中有 \(6\) 個點都可以當最下面的那個點，

並且最底下的點確定是哪個點之後，四角錐的底面位置可以依序旋轉 \(4\) 次都是一樣的，

所以，題目所求的塗色方法數是 \(\displaystyle\frac{8!}{6\times4}.\)






另解，



如上圖，當中有 \(8\) 個面都可以當最下面的那個正三角形，

並且最底下的正三角形顏色確定之後，因為最下面是正三角形（正三角形有三個相同邊喔）可以依序旋轉 \(3\) 次都是一樣的，

所以，題目所求的塗色方法數是 \(\displaystyle\frac{8!}{8\times3}.\)

請問一下  如果題目是6種不同顏色圖在一個長寬高都不同的長方體表面的話  總共會有

6!/(2*2*2) 種塗法嗎??

謝謝

6種不同顏色圖在一個長寬高都不同的長方體表面的話  總共會有 \(\displaystyle\frac{6!}{2\times2}\) 種塗色。

先把圖形固定，上色有 6! 種，

因為上下可翻轉 2 種，四周可旋轉 2 種，所以每 \(2\times2\) 種配色會是相同一種，

所以共有 \(\displaystyle \frac{6!}{2\times2}\) 種塗色。



Note: \(\displaystyle \frac{\mbox{看作絕對位置時的塗色數}}{\mbox{可為底面的翻轉數}\times\mbox{四周的旋轉數}}.\)