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99新竹高中(部分題目)

bugmens

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1^# 大中小發表於 2010-5-29 14:16 只看該作者

99新竹高中(部分題目)

本試題題目經 ptt 的 cslove 網友同意轉錄，特此致謝。

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99新竹高中.rar (1.69 KB): 2010-5-29 14:16, 下載次數: 7843

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2010-5-29 14:16 只看該作者

2.n對夫婦一起跳舞，每對夫婦皆不共舞的機率為P(n)
(1)求P(n)
(2)求limn

P(n)
[提示]
就錯排n!(1−11!+12!−13!+14!−

+(−1)n1n!)
再除n!就是P(n)
(2)
泰勒展開式x=1代入
1ex=1−x+2!x2−3!x3+4!x4−

3.f(t)=x2−t，t為正數，從x=a1開始，已知f(a1)

0
　過(a1

f(a1))做切線，交x軸於(a2

0)；
再過(a2

f(a2))做切線，交x軸於(a3

0)；
再過(a3

f(a3))做切線，交x軸於(a4

0)；
如此如此，這般這般...
(1)試證：an+1=21(an+tan)
(2)

an

為一遞減有下界數列，求limn

an
　　(這一題題目好像有瑕玼，應該要加 a_1>0 才行)
(3)試證：0

an+1−

t

8ant(a2n−t)2
[(3)解答]
an+1−

t=2ana2n+t−2

tan=2an(an−

t)2

(an+

t)2(an+

t)2
=(a2n−t)22an(an+

t)2

(a2n−t)22an(

t+

t)2=8ant(an−t)2

5.
(1)

nk=1C2n2k−1
(2)

nk=1(−1)kC2n2k−1
[解答]
(1)(1+x)2n=C02n

x0+C12n

x1+C22n

x2+C32n

x3+

+C2n2n

x2n
分別用x=1，x=−1代入得
22n=C02n+C12n+C22n+C32n+

+C2n2n
0=C02n−C12n+C22n−C32n+

+C2n2n
兩式相減除以2可得答案
(2)
用x=i代入得
(1+i)2n=C02n

i0+C12n

i1+C22n

i2+C32n

i3+

+C2n2n

i2n
(1+i)2n=

2

cos

4+i

sin

4

2n=2n

cos2n

+i

sin2n

取虛部
2n

sin2n

=C12n−C32n+C52n−

+(−1)nC2n2k−1

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mandy

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3^# 大中小發表於 2010-5-29 18:14 只看該作者

請問

請問第7題及第4題(2) 如何解 ?

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blue

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4^# 大中小發表於 2010-5-29 18:31 只看該作者

第七題請參考我在ptt數學版提供的解答
第四題ptt有板有解出, 此級數稱為調和級數.

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mandy

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5^# 大中小發表於 2010-5-29 19:23 只看該作者

請問

請問各位老師 :
第2題(1) : 我的做法也是直接寫出P(1)

P(2)及P(n) , 但是此題為10分計算題 (其他計算題才5分) , 請問要如何證明呢?

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blue

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6^# 大中小發表於 2010-5-30 23:41 只看該作者

要詳細說明的話就只能用排容原理來解釋
可以將各項機率用集合方式表達。

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blue

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7^# 大中小發表於 2010-5-31 20:09 只看該作者

另外第一題的第三小題
(3) ω^n = 1 ， ω 為一虛根求 (2-ω)(2-ω^2)(2-ω^3)...(2-ω^(n-1))
這題如果說

=e2

i

n 當然可以由根與係數關係容易得到。
但是一旦

=e2k

i

n 時, 就需要去討論 k 與 n 有沒有互質。
沒有互質的話, 他的根次冪並不會跑完所有1的n次方根. 版友有比較好的
做法嗎? 還是只能分開討論?

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weiye

瑋岳

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8^# 大中小發表於 2010-5-31 22:25 只看該作者

引用:

原帖由 blue 於 2010-5-31 08:09 PM 發表
另外第一題的第三小題
(3) ω^n = 1 ， ω 為一虛根求 (2-ω)(2-ω^2)(2-ω^3)...(2-ω^(n-1))
這題如果說=e2in 當然可以由根與係數關係容易得到。
但是一旦=e2kin 時, 就需要去討論 k 與 n 有沒有互質。
沒有互質的話, 他的根次冪並不會跑完所有1的n次方根. 版友有比較好的
做法嗎? 還是只能分開討論?

若

是 xn−1=0 的本原虛根(primitive root)，則

x−

2

x−

n−1

=xn−1+xn−2+

+x+1

再將 x=2 帶入即可.

如果不是本原虛根(primitive root, 亦即所有根的生成元)，似乎計算起來就沒那麼方便.

多喝水。

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blue

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9^# 大中小發表於 2010-6-1 00:03 只看該作者

假設n=6,

=e2

i

3 則

(2−

)(2−

2)

(2−

5)=(2−

)2(2−

2)2=(22+2+1)2=49

若取

=e

i

3
則

(2−

)(2−

2)

(2−

5)=25+24+23+22+2+1=63

這樣變成要討論6的因式問題。不曉得有沒有一般的formula, 否則可能要用因式來表示了

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weiye

瑋岳

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10^# 大中小發表於 2010-6-1 10:46 只看該作者

由 blue 上方回覆這篇，想到如下敘述，

令

=cosn2k

+isinn2k

，

若

k

n

=m ，則

x−

2

x−

n−1

=

x−

2

x−

nm−1

m

x−1

m−1

\displaystyle=\left(1+x+x^2+\cdot+x^{\frac{n}{m}-1}\right)^m\left(x-1\right)^{m-1}.

\displaystyle=\frac{\left\{\left(x-1\right)\left(1+x+x^2+\cdot+x^{\frac{n}{m}-1}\right)\right\}^m}{x-1}.

\displaystyle=\frac{\left(x^{\frac{n}{m}}-1\right)^m}{x-1}.

以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。

多喝水。

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