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2020APMO亞太數學奧林匹亞競賽初選試題

mathguy

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1^# 大中小發表於 2019-12-10 16:31 只看該作者

2020APMO亞太數學奧林匹亞競賽初選試題

令\(a,b,c\)為正實數且\(k\)為\(\displaystyle \frac{13a+13b+2c}{2a+2b}+\frac{24a-b+13c}{2b+2c}+\frac{-a+24b+13c}{2c+2a}\)的最小值。
試回答下列問題：
(1)試求k.
(2)若最小值發生於\((a,b,c)=(a_0,b_0,c_0)\)時，試求\(\displaystyle \frac{b_0}{a_0}+\frac{c_0}{b_0}\)

好像看過，卻百思不得其解，希望有高手幫忙。先謝謝了。

111.4.20補充
相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

附件

2020APMO初選考試.pdf (176.02 KB): 2022-4-19 18:01, 下載次數: 3515

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thepiano

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2^# 大中小發表於 2019-12-11 08:40 只看該作者

回復 1# mathguy 的帖子

2a + 2b = x
2b + 2c = y
2c + 2a = z
把 a、b、c 用 x、y、z 表示，再用算幾

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mathguy

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3^# 大中小發表於 2019-12-11 10:29 只看該作者

回復 2# thepiano 的帖子

鋼琴大大，學生昨天下午3:00問我，我到晚上9:00才得到跟你一樣的起頭，很懷疑你花了多少時間，哈哈，差距就在這兒
謝謝鋼琴大。

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laylay

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4^# 大中小發表於 2019-12-11 11:36 只看該作者

回復 2# thepiano 的帖子

那請問 x,y,z>0 ,(y/x+4x/y)+(z/y+9y/z)+(x/z+16z/x)
>= 2*2+2*3+2*4=18
但等式成立於 y=2x , z=3y , x=4z => z =3y=6x=24z =>z=0,
錯誤 , 該如何處理以及找最小值?

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weiye

瑋岳

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5^# 大中小發表於 2019-12-11 13:13 只看該作者

回復 4# laylay 的帖子

\(\displaystyle a=\frac{x+z-y}{4}\)，\(\displaystyle b=\frac{x+y-z}{4}\)，\(\displaystyle c=\frac{y+z-x}{4}\)

\(\displaystyle\frac{19}{2}\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\frac{5}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\geq 19+1+5=25\)

且當等號成立時，\(x=y=z>0\)

--------------------

上面有誤，列錯式子（見下方回覆），感謝 thepiano 提醒。

多喝水。

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Lopez

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6^# 大中小發表於 2019-12-11 14:23 只看該作者

Lopez

我用程式直接在 ( 0 , 10 ] 區間,每隔0.05取a,b,c的值:
0.05 , 0.10 , 0.15 , 0.20 , ...... , 10.00

當 a = 1.8 , b = 1.8 , c = 6.25 時, 有最小值 23.4721359558316
因此, 大於 23.5 的答案似乎是不對的...

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thepiano

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7^# 大中小發表於 2019-12-11 14:54 只看該作者

回復 5# weiye 的帖子

應是\(\displaystyle \frac{19}{2}\left( \frac{z}{y}+\frac{y}{z} \right)+\left( \frac{z}{2x}+\frac{5x}{2z} \right)+\left( \frac{y}{2x}+\frac{5x}{2y} \right)\ge 19+\sqrt{5}+\sqrt{5}=19+2\sqrt{5}\)

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mathguy

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8^# 大中小發表於 2019-12-11 19:50 只看該作者

我也做出19+2根號5

很有趣，跟號5x=y=z,換一下數字不知道能不能做。

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laylay

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9^# 大中小發表於 2019-12-12 10:15 只看該作者

請問有人可以回答 .......
x,y,z>0 ,如何找(y/x+4x/y)+(z/y+9y/z)+(x/z+16z/x) 的最大下界嗎?
令 x=sz , y=tz ,原函數值=(t/s+4s/t)+(1/t+9t)+(s+16/s) , 當 s,t=0.1~10.0 共有10000個點時 s=1.8 , t=0.9 時有最小值 28.4
請問有人可以畫出以原X軸為s軸,原Y軸為t軸,原Z軸為函數值的3D波浪圖嗎?
還有多變數的連續函數值若有下界(本題 0 顯然是它的下界) , 則必有最大下界, 怎麼證明?

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satsuki931000

satsuki

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10^# 大中小發表於 2019-12-12 21:22 只看該作者

關於4樓laylay老師的題目

抱歉
想請問鋼琴老師
算式的係數是如何找出的
應該說如何利用最一開始題目代換的方式
求出該式的極值

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