google 搜尋 "e irrational" 就有很多筆證明了，
以下挑當中的第一筆搜尋結果，改寫成中文。
證明：
已知 \displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots‧‧‧‧‧‧（＊）
假設 \displaystyle e=\frac{p}{q}，其中 p,q 都是正整數.
將 （＊）左右同乘 q! ，可得
\displaystyle q!\, e = q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\cdots+\frac{q!}{q!}+\mbox{其它的項和}
因為 \displaystyle e=\frac{p}{q}，所以 q!\,e 是整數.
且 \displaystyle q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\cdots+\frac{q!}{q!} 也是整數.
然而，
兩者當中相差的〝其它的項和〞
\displaystyle R=\frac{q!}{\left(q+1\right)!}+\frac{q!}{\left(q+2\right)!}+\frac{q!}{\left(q+3\right)!}+\cdots
\displaystyle =\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\cdots
\displaystyle <\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^2}+\frac{1}{(q+1)^3}+\cdots
\displaystyle =\frac{\frac{1}{q-1}}{1-\frac{1}{q-1}}=\frac{1}{q}.
\displaystyle \Rightarrow 0<R<\frac{1}{q} ，得 R 非整數，矛盾.
故，e 非有理數.
