108臺中二中

計算五

其實這題有點瑕疵在於，要求公差要為正
正確寫法應該要加上正負((畢竟公差也可以是負數))

的確如此XD
我當初也沒想到這問題
直接被題目牽著鼻子走

鋼琴老師計算這個 \(\displaystyle (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \) 的方式還真是巧妙!!!!
不過既然同一份考卷裡面有計算第二題，還是講一下好了
請參考許志農老師寫的一元三次方程式的判別式
http://pisa.math.ntnu.edu.tw/att ... 7/38%20mathdata.pdf

當然，這東西超難記的，硬背下來也是無妨。
其實很久以前就遇過求 \(\displaystyle (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \) 的值的問題，當時還不知道這是三次的判別式，
就想了個方法硬做:
\(\displaystyle (a-b)(b-c)(c-a) \)這東西是凡德夢行列式
令 \(\displaystyle V=(a-b)(b-c)(c-a)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right|  \)

\(\displaystyle V^2=det\left(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right]\right)=\left|\begin{array}{ccc} A_0 & A_1 & A_2 \\ A_1 & A_2 & A_3 \\ A_2 & A_3 & A_4 \end{array}\right|  \)
其中\(\displaystyle A_n=a^n+b^n+c^n \)

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2019-6-4 23:47 編輯 ]

另外"范德蒙行列式"應用的參考資料如下連結
http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/R ... eX.ashx?autoKey=817

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-6-5 08:28 編輯 ]

計算五
一開始我也是由代數計算 \(\displaystyle \frac{abc}{4R}=rs=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) 得到結果。
試著用幾何方式，才發現要用到的性質，在我這兩篇
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122204
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122768
已經都寫到了。
我還是把過程完整寫下來:

如圖，\(\Delta ABC \)中，\( AB-BC=BC-AC=d \)，
試證: \(\displaystyle d^2=2Rr-4r^2 \)，其中 \( R,r \) 分別為其外接圓與內切圓半徑。

做 \( \angle{BAC} \) 的平分線與 \( BC \) 交於 \( D \)，與外接圓交於 \( X \) ，令 \( I \) 為內心，
並設 \( BC=a,AB=c=a+d,AC=b=a-d \)
\(\displaystyle AI:ID=(\Delta AIB+\Delta AIC);\Delta BIC=(c+b):a=2:1 \)
\(\displaystyle AB:BD=AC:CD=AI:ID=2:1 \)
所以\(\displaystyle BD=\frac{c}{2} \)
若內切圓與 \( BC \) 切於 \( K \) ，那麼 \(\displaystyle BK=\frac{c+a-b}{2} \)
所以 \(\displaystyle DK=\frac{a-b}{2}=\frac{d}{2} \)
而 \( IK=r \) ，將欲證之式同除以4並移項得到 \(\displaystyle (\frac{d}{2})^2+r^2=\frac{Rr}{2} \)
所以只要證明 \(\displaystyle ID^2=\frac{Rr}{2} \)即可。
因為  \(\displaystyle \Delta ABX\sim\Delta ADC \)
所以  \(\displaystyle AX:BX=AC:CD=2:1 \)
而  \(\displaystyle BX=IX \) ，得到  \(\displaystyle IX=\frac{AX}{2}=AI \)，以及  \(\displaystyle ID=\frac{IX}{2} \)
令內切圓與 \( AC \) 邊切於 \( E \) (請補上) ，做直徑 \( XY \) ，連接 \( YB \)
\(\displaystyle \Delta YXB\sim\Delta AIE \)
\(\displaystyle XY:AI=XB:IE \)
\(\displaystyle 2Rr=IX^2=4ID^2 \)
\(\displaystyle ID^2=\frac{Rr}{2} \)
證畢

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2019-6-5 21:44 編輯 ]

想問第七題，拆項一直不出來

感謝～

k^2+3k+1=(k+1)(k+2)-1

可得原式=[1/k!]-[1/(k+2)!]下去分項對消

感謝～已解出！