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108臺中二中

satsuki931000

satsuki

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21^# 大中小發表於 2019-5-10 14:24 只看該作者

計算五

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yi4012

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22^# 大中小發表於 2019-5-15 15:17 只看該作者

回復 21# satsuki931000 的帖子

其實這題有點瑕疵在於，要求公差要為正
正確寫法應該要加上正負((畢竟公差也可以是負數))

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satsuki931000

satsuki

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23^# 大中小發表於 2019-5-15 15:24 只看該作者

回復 22# yi4012 的帖子

的確如此XD
我當初也沒想到這問題
直接被題目牽著鼻子走

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lyingheart

萊因哈特

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24^# 大中小發表於 2019-6-4 23:36 只看該作者

回復 5# thepiano 的帖子

鋼琴老師計算這個 (a−b)2(b−c)2(c−a)2 的方式還真是巧妙!!!!
不過既然同一份考卷裡面有計算第二題，還是講一下好了
請參考許志農老師寫的一元三次方程式的判別式
http://pisa.math.ntnu.edu.tw/att ... 7/38%20mathdata.pdf

當然，這東西超難記的，硬背下來也是無妨。
其實很久以前就遇過求 (a−b)2(b−c)2(c−a)2 的值的問題，當時還不知道這是三次的判別式，
就想了個方法硬做:
(a−b)(b−c)(c−a)這東西是凡德夢行列式
令 V=(a−b)(b−c)(c−a)=

1aa21bb21cc2

=

111abca2b2c2

V2=det

1aa21bb21cc2

111abca2b2c2

=

A0A1A2A1A2A3A2A3A4

其中An=an+bn+cn

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2019-6-4 23:47 編輯 ]

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Ellipse

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25^# 大中小發表於 2019-6-5 08:26 只看該作者

引用:

原帖由 lyingheart 於 2019-6-4 23:36 發表
鋼琴老師計算這個 (a−b)2(b−c)2(c−a)2 的方式還真是巧妙!!!!
不過既然同一份考卷裡面有計算第二題，還是講一下好了
請參考許志農老師寫的一元三次方程式的判別式
http://pisa.math.ntnu.edu.tw/ ...

另外"范德蒙行列式"應用的參考資料如下連結
http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/R ... eX.ashx?autoKey=817

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-6-5 08:28 編輯 ]

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lyingheart

萊因哈特

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26^# 大中小發表於 2019-6-5 15:59 只看該作者

計算五
一開始我也是由代數計算 4Rabc=rs=

s(s−a)(s−b)(s−c) 得到結果。
試著用幾何方式，才發現要用到的性質，在我這兩篇
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122204
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122768
已經都寫到了。
我還是把過程完整寫下來:

如圖，

ABC中，AB−BC=BC−AC=d，
試證: d2=2Rr−4r2，其中 R

r 分別為其外接圓與內切圓半徑。

做

BAC 的平分線與 BC 交於 D，與外接圓交於 X ，令 I 為內心，
並設 BC=a

AB=c=a+d

AC=b=a−d
AI:ID=(

AIB+

AIC);

BIC=(c+b):a=2:1
AB:BD=AC:CD=AI:ID=2:1
所以BD=c2
若內切圓與 BC 切於 K ，那麼 BK=2c+a−b
所以 DK=2a−b=2d
而 IK=r ，將欲證之式同除以4並移項得到 (2d)2+r2=2Rr
所以只要證明 ID2=2Rr即可。
因為

ABX

ADC
所以 AX:BX=AC:CD=2:1
而 BX=IX ，得到 IX=2AX=AI，以及 \displaystyle ID=\frac{IX}{2}
令內切圓與 AC 邊切於 E (請補上) ，做直徑 XY ，連接 YB
\displaystyle \Delta YXB\sim\Delta AIE
\displaystyle XY:AI=XB:IE
\displaystyle 2Rr=IX^2=4ID^2
\displaystyle ID^2=\frac{Rr}{2}
證畢

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2019-6-5 21:44 編輯 ]