108北一女中

參考ptt網友 cksh0300600 的記憶版~

想請教第1題和第3題~謝謝!!

[ 本帖最後由 royan0837 於 2019-4-21 21:31 編輯 ]

請教第四題的第二小題、第五題的第二小題

#1
答:a>=1/√2 或a<= -1/√2 但a≠ 1 ,a≠ -1
假設f(x)=(ax+1)² - a²(1-x²)=2a²x²+2ax+1-a²
由拋物線圖形特性及題意知 D>=0 ,且f(1)>0 ,f(-1)>0
解得a>=1/√2 或a<= -1/√2 但a≠ 1 ,a≠ -1

第三題
條件：
f(0)=0
f(1)=1
f'(0)=1
f'(1)=2
然後根據題意畫圖 可以知道函數在x=0有一個反曲點 f''(0)=0

5.（2）
a(n)為Cn圓心座標的y座標 r(n)為Cn的半徑
可知a(n)=a(n-1)+r(n-1)+r(n)
列方程式代入條件解遞迴就可得到an為首項為1 公差為1/2的等差數列

#3
假設y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e , 圖形通過(0,0),(1,1)
所以e=0 ,a+b+c+d=1--------------(1)
又f '(x)=4ax^3+3b^2+2cx+d
f '(0)=d =1-------------(2)
f '(1)=4a+3b+2c+1=2 ----------------(3)
由(1)&(2)&(3)得b=-2a+1 ,c=a-1 帶回f(x)
得f(x)=ax^4+(-2a+1)x^3+(a-1)x^2+x 與y=x 恰有兩解x=0或1-------------(*)
解ax^4+(-2a+1)x^3+(a-1)x^2+x=x , x^2(x-1)[ax-(a-1)] =0
x=0,1 ,(a-1)/a ,由(*)得(a-1)/a =0 或1 ,解得a=1 ,b=-1,c=0
所以f(x)=x^4-x^3+x

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-21 22:54 編輯 ]

不知道老師能不能將第五題第二小題講解得更清楚一點呢?很抱歉 對這一塊不是那麼熟悉

[ 本帖最後由 jasonmv6124 於 2019-4-22 00:47 編輯 ]

相切代表重根，四次式有可能雙重根、三重根、四重根
已知切線切到兩點，所以剩雙重根和三重根
如果是雙重根，那就是雙重根(0)和雙重根(1)，這樣在1也是切線，1的切線不是這條，不合
所以是三重根(0)+1相異根(1)
令過\(0\)切線為\(y=mx\)，\(f(x)-mx=Ax^3(x-1)\)，\(f(0)=0,f(1)=1,f'(1)=2\)，...

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2019-4-22 00:31 編輯 ]

分享一下我的作法

感謝老師的提示，小弟做出來了
在此分享

第 4 大題第 (2) 小題
設擲出一、二、三、四、五、六點的機率，分別是\({{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},{{p}_{4}},{{p}_{5}},{{p}_{6}}\)

\(\begin{align}
  & {{p}_{1}}+{{p}_{2}}+{{p}_{3}}+{{p}_{4}}+{{p}_{5}}+{{p}_{6}}=1 \\
& T=2\left( {{p}_{1}}+{{p}_{3}}+{{p}_{5}} \right)\left( {{p}_{2}}+{{p}_{4}}+{{p}_{6}} \right) \\
& \frac{T}{2}=\left( {{p}_{1}}+{{p}_{3}}+{{p}_{5}} \right)\left( {{p}_{2}}+{{p}_{4}}+{{p}_{6}} \right)\le {{\left[ \frac{\left( {{p}_{1}}+{{p}_{3}}+{{p}_{5}} \right)+\left( {{p}_{2}}+{{p}_{4}}+{{p}_{6}} \right)}{2} \right]}^{2}}=\frac{1}{4} \\
& T\le \frac{1}{2} \\
\end{align}\)

\(\begin{align}
  & S={{p}_{1}}^{2}+{{p}_{2}}^{2}+{{p}_{3}}^{2}+{{p}_{4}}^{2}+{{p}_{5}}^{2}+{{p}_{6}}^{2} \\
& W={{p}_{1}}{{p}_{3}}+{{p}_{1}}{{p}_{5}}+{{p}_{2}}{{p}_{4}}+{{p}_{2}}{{p}_{6}}+{{p}_{3}}{{p}_{1}}+{{p}_{3}}{{p}_{5}}+{{p}_{4}}{{p}_{2}}+{{p}_{4}}{{p}_{6}}+{{p}_{5}}{{p}_{1}}+{{p}_{5}}{{p}_{3}}+{{p}_{6}}{{p}_{2}}+{{p}_{6}}{{p}_{4}} \\
& =\left( {{p}_{1}}{{p}_{3}}+{{p}_{2}}{{p}_{4}}+{{p}_{3}}{{p}_{5}}+{{p}_{4}}{{p}_{6}}+{{p}_{5}}{{p}_{1}}+{{p}_{6}}{{p}_{2}} \right)+\left( {{p}_{1}}{{p}_{5}}+{{p}_{2}}{{p}_{6}}+{{p}_{3}}{{p}_{1}}+{{p}_{4}}{{p}_{2}}+{{p}_{5}}{{p}_{3}}+{{p}_{6}}{{p}_{4}} \right) \\
& T+S+W=1 \\
& W\le S+S=2S \\
& 3S+T=2S+S+T\ge W+S+T=1 \\
& T\ge 1-3S \\
&  \\
& \frac{1}{2}\ge T\ge 1-3S \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-22 08:31 編輯 ]