108麗山高中

在五座自然島嶼之間建造四座橋，讓它們能夠連通，請問有幾種建橋方案？

反面算

第 1 題
在五座自然島嶼之間建造四座橋，讓它們能夠連通，請問有幾種建橋方案？
[解答]
若 5 座島兩兩之間都有通道，則有 C(5，2) = 10 條通道
從 10 條通道中選 4 條，有 C(10，4) = 210 種選法

以下情形不能讓 5 座島相通，須扣除
(1) 其中 3 座相通(用 3 條通道)，另 2 座也相通(用 1 條通道)，但此二系統不互通
有 C(5，3) = 10 種情形

(2) 其中 4 座相通(用 4 條通道)，另 1 座獨立
有 C(5，4) * C(6，4) = 75 種情形

所求 = 210 - 10 - 75 = 125

第 13 題
設\(\alpha\)、\(\beta\)為\(x^2-x+1=0\)之兩根，若\(\alpha+\beta=\alpha^n+\beta^n\)，其中\(n\)為自然數且\(1\le n \le 100\)，求滿足上式的自然數\(n\)有幾個？
[解答]
\(\begin{align}
  & \alpha \beta =1 \\
& {{S}_{1}}=\alpha +\beta =1 \\
& {{S}_{2}}={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}=-1 \\
& {{S}_{3}}=\left( \alpha +\beta  \right)\left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)-\alpha \beta \left( \alpha +\beta  \right)={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=-2 \\
& {{S}_{4}}=\left( \alpha +\beta  \right)\left( {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}} \right)-\alpha \beta \left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=-1 \\
& {{S}_{5}}={{S}_{4}}-{{S}_{3}}=1 \\
& {{S}_{6}}={{S}_{5}}-{{S}_{4}}=2 \\
& {{S}_{7}}={{S}_{6}}-{{S}_{5}}=1 \\
& {{S}_{8}}={{S}_{7}}-{{S}_{6}}=-1 \\
\end{align}\)
六個一循環
所求\(=[\frac{100}{6}]\times 2+1=33\)

不好意思，想請教第12題，小弟的答案不太一樣
感謝老師回應

[ 本帖最後由 z78569 於 2019-4-21 13:14 編輯 ]

在\(xy\)平面上，設\(\displaystyle A(\frac{1}{2},0)\)，\(O\)為原點，將\(\overline{OA}\)分成\(n\)等分，過其分割點\(\displaystyle B_k(\frac{k}{2n},0)\)做\(x\)軸的垂線，與圓\(x^2+y^2=1\)交在第一象限的點為\(\displaystyle P_k(\frac{k}{2n},\sqrt{1-\frac{k^2}{4n^2}})\)，則極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{k^2}{4n^2}}=\)？

我根據題目重試一次
答案應該是如圖片所示
但12題其實我有點忘記正確題目數據
(在看有沒有其他夥伴能夠提供更正確的題目
或是 等待學校公告考題)

感謝Almighty老師的分享，我了解自己錯在哪裡了

另外想請教填充六有沒有其他作法(小弟覺得自己的做法太麻煩了，考試當場沒有做出來)

還有填充18、計算題一
希望有老師可以指導一下

感謝!

[ 本帖最後由 z78569 於 2019-4-21 18:13 編輯 ]

填六:
圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(O\)為圓心，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠BCD=75^{\circ}\)，\(∠BDC=45^{\circ}\)，\(\vec{BD}=a \vec{OA}+b \vec{OB}\)，試求數對\((a,b)=\)？
[解答]
W.L.O.G 假設OA=OB=OC=OD=1
由正弦及畢氏定理知,BD=√(2+√3) , AB=√2 ,BC=√2 ,CD=√3,DA=1
座標化:令O(0,0) ,A(-1,0) ,B(0,1),C(1,0) ,假設D(x,y), DK垂直AC交AC於K點
則在三角形ADC中,由AC*DK=AD*DC ,可知D(x,y)=(-1/2 ,-√3/2)
向量BD=(-1/2 , (-√3/2)-1) =a(-1,0)+b(0,-1) ,解出 a=1/2 ,b= (-√3-2)/2

填充6
圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(O\)為圓心，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(∠BCD=75^{\circ}\)，\(∠BDC=45^{\circ}\)，\(\vec{BD}=a \vec{OA}+b \vec{OB}\)，試求數對\((a,b)=\)？

可以請教第11題嗎?

第17題
下圖中已知\(\Delta ABC\)為正三角形，\(DEFGHIJK\)為正八邊形，且\(E\)為\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{CE}=2\)，\(A,C,D\)三點共線，\(A,B,F,G\)四點共線，則\(\overline{AF}=\)　　　。

圖應該是這個
三角形和正八邊形只知線段CF=2 求線段AH長