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107中正預校_國中

laylay

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11^# 大中小發表於 2018-6-6 09:38 只看該作者

填充15. 另解

15.
在空間中，\(O(0,0,0)\)、\(A(a,0,0)\)、\(B(0,b,0)\)、\(C(0,0,c)\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)為正數。若\(\Delta ABC\)的面積為4，則\(|\;\vec{OA}\times \vec{OB}|\;+2|\;\vec{OB}\times \vec{OC}|\;+2|\;\vec{OC}\times \vec{OA}|\;\)之最大值為　　　。
[解答]
(ABC面積)^2 * 36=((OAB面積)^2+(OBC面積)^2+(OCA面積)^2) ( 2^2+4^2+4^2)>=所求^2
所以 Max=ABC面積*6=24

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linchihlong

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12^# 大中小發表於 2018-6-15 15:44 只看該作者

想請問填充21，22，23

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laylay

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13^# 大中小發表於 2018-6-15 18:05 只看該作者

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21.
\(\cases{x+y=5 \cr x^2+z^2+xz=16 \cr y^2+z^2-yz=9}\)，則\(xz+yz=\)　　　。

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20180615_180529.jpg (720.52 KB)

2018-6-15 18:05

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laylay

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14^# 大中小發表於 2018-6-15 18:59 只看該作者

回復 12# linchihlong 的帖子

填充 22.
已知\(x_1=21\)，\(x_2=37\)，\(x_3=42\)，\(x_4=23\)，且\(x_n=x_{n-1}-x_{n-2}+x_{n-3}-x_{n-4}(n\ge 5)\)，試求\(x_{31}+x_{53}+x_{1975}=\)　　　。
[解答]
因為 x5=x4-x3+x2-x1
所以 x6=x5-x4+x3-x2= -x1 , 同理 x7=-x2 , x8=-x3 ,x9=-x4 ,x10=-x5 ,x11=-x6=x1 ........
故每10個一循環
所求=x1+x3+x5=21+42+(-3)=60

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laylay

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15^# 大中小發表於 2018-6-15 20:00 只看該作者

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23.
設滿足\(z^{28}-z^8-1=0\)及\(|\;z|\;=1\)的複數共有\(2n\)個。這些複數的極式為\(z_m=cos\theta_m+i sin\theta_m(0^{\circ}\le \theta_1<\theta_2<\ldots<\theta_{2n}<360^{\circ})\)，試求\(\theta_2+\theta_4+\ldots+\theta_{2n}=x^{\circ}\)，則\(x\)之值為　　　。

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1529064016493.jpg (720.06 KB)

2018-6-15 20:00

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16^# 大中小發表於 2018-6-16 00:12 只看該作者

\(\cases{x+y=5 \cr x^2+z^2+xz=16 \cr y^2+z^2-yz=9}\)，則\(xz+yz=\)　　　。
[解答]
回覆laylay 21題
這題他應該是要考"構造法解題",但題目沒講清楚x,y,z要大於0
所以會有兩解~~構造法作法如下~

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20180616_000816.jpg (200.82 KB)

2018-7-6 11:01

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laylay

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17^# 大中小發表於 2018-6-16 06:49 只看該作者

填充

27.
由某兩個等差數列之對應項相乘所得數為1440、1716、1848、\(\ldots\)，則此數列的第八項為　　　。

附件

1529102819610.jpg (665.42 KB)

2018-6-16 06:49

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laylay

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18^# 大中小發表於 2018-6-16 08:20 只看該作者

選擇 8.

填下排                429 …所求
^       132 429
:          42 132  297
:    14 42 90 165
: 5  14  28  48  75
:  2  5    9  14 20 27
1       2       3       4       5          6          7
1  1 1 1  1    1    1 ........> 填上排
在此想請問若再增加第三列(7格),要怎麼算呢 ?

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19^# 大中小發表於 2018-6-17 00:09 只看該作者

引用:

原帖由 laylay 於 2018-6-16 08:20 發表
填下排                429 …所求
^       132 429
:          42 132  297
:    14 42 90 165
: 5  14  28  48  75
:  2  5    9  14 20 27
1    ...

8.
將數字1~14填入一個\(2\times 7\)的表格中，其中左邊的數字要比右邊的數字小，上面的數字要比下面的數字小，滿足這種規律的填法有幾種？
(1)426　(2)427　(3)429　(4)431　(5)433
[解答]
這題可以用一路領先(含等於)公式:C(2n,n)/(n+1) [卡塔蘭數]
此時n=7,所求=C(14,7)/8=429

您的問題是三人的一路領先問題(含等號),請參考
http://www.shs.edu.tw/works/essay/2018/03/2018030210001363.pdf

http://163.27.6.18/tp/teacher/.. ... %95%8F%E9%A1%8C.pdf

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cut6997

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20^# 大中小發表於 2018-6-17 04:50 只看該作者

回復 15# laylay 的帖子

小弟資直駑鈍
看不太懂laylay老師圖的意思
我的想法是z^28=1+z^8
分別以(0,0)和(1,0)做單位圓求交點
觀察(1,0)的圓得交於 120度和-120度
得第一組解15度和-15度
檢察28*15(mod 360)=60.合
由於28和8的最大公因數為4
360/4=90
將上述解依次增加90得4組解
(15,345),(105,75),(195,165),(285,255)
排序後
15,75,105,165,195,255,285,345

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