107高雄聯招

教甄必念寶典-泰宇的數學101

舊的絕版了~~

對完答案的時候我原本以為會坐7望8...沒想到剛去查成績只有5開頭...
感覺這次過程抓很嚴...
我知道我第二行到第三行跳太快
可是我不知道該怎麼補齊那一段
又或者整個都是錯的
還請各位老師指點
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+3}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+4}}+\ldots\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{3}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{4}{n}}}+\ldots \right)\)
\(\displaystyle =\int_0^1 \frac{1}{2\sqrt{1+x}}dx=\sqrt{1+x}|_0^1=\sqrt{2}-1\)

應用裂項對消,將每一項有理化,剩下第一項及第二項的後面,以及最後兩項的前面,最後再取極限就好

[attach]4578[/attach]補充板上尚未討論的題目，
供參考，有錯再請指導

第3題另解
由集合\(S=\{\;2^1,2^2,2^3,\ldots,2^{200},2^{201}\}\;\)中一次選三個相異元素，則此三個元素可排成遞增的等比數列之方法有幾種？
[解]
奇次項\(A=\{\;2^1,2^3,\ldots,2^{201}\}\;\)，\(n(A)=101\)
偶次項\(B=\{\;2^2,2^4,\ldots,2^{200}\}\;\)，\(n(B)=100\)
利用等比中項：\(b^2=ac \Rightarrow a,c\)次方和必為偶數
\( \matrix{C_2^{101}&+&C_2^{100}&=\frac{101 \times 100}{2}+\frac{100\times 99}{2}=10000種 \cr (奇+奇)&&(偶+偶)&}\)

他有更正公告的答案檔，就先放上來了...我也因為計算錯誤而...

老師，請問一下，第四題怎麼取n的，我一直卡住....還是沒想出來

第4題
由\(y=x^3\)與\(x=0\)，\(x=2\)及\(x\)軸圍成一區域\(S\)的面積\(R\)，將\(S\)分成\(n\)個等寬的長方形，令其上和為\(U_n\)，　下和為\(L_n\)，則滿足\( \displaystyle \|;U_n-R \|;<\frac{1}{100} \)之最小自然數\(n=\)　　　　。
[解]
\(\displaystyle R=\int_0^2 x^3 dx=\frac{x^4}{4}\Bigg\vert\;_0^2=4\)

\(\displaystyle U_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n} \cdot \left( \frac{2k}{n} \right)^{3} = \sum_{k=1}^{n} \frac{16}{n^4} \cdot k^3 = \frac{16}{n^4} \cdot \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{ 4n^4 + 8n^3 + 4n^2 }{n^4} = 4 + \frac{8n+4}{n^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \; | U_{n} - R | = \left| \frac{8n+4}{n^2} \right| < \frac{1}{100} \quad \Rightarrow \quad n^2 > 800n + 400 \quad \Rightarrow \quad (n^2 - 800n + 400^2) > 400 + 400^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow \; (n - 400)^2 > 160400 \quad \Rightarrow \quad n - 400 > 400. \cdots \quad \Rightarrow \quad n > 800\)，最小自然數\(\displaystyle n = 801\)。

參考看看