107中科實中國中部

感謝老師的分享! 同樣的題目一起準備起來會比較有感覺!

關於第6題
小弟資質駑鈍
採用的算法是取兩次三點共面與直線交點
得到P.Q座標後算距離
可是算起來十分費時
想請教各位先進正確做法為何

第 6 題
設直線\(L_1\)經過點\(A(0,0,4)\)、\(B(1,2,3)\)；直線\(L_2\)經過點\(C(3,-1,2)\)、\(D(-3,5,-1)\)。若直線\(L_3\)過點\((-13,36,-9)\)且與直線\(L_1\)、直線\(L_2\)各相交於\(P\)、\(Q\)兩點，試求\(\overline{PQ}\)長度為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & P\left( t,2t,4-t \right),Q\left( 3-6s,-1+6s,2-3s \right),R\left( -13,36,-9 \right) \\
& \frac{t+13}{3-6s+13}=\frac{2t-36}{-1+6s-36}=\frac{4-t+9}{2-3s+9} \\
& \frac{t+13}{16-6s}=\frac{2t-36}{6s-37}=\frac{13-t}{11-3s} \\
& \frac{2t-36}{6s-37}=\frac{13-t}{11-3s}=\frac{2t-36+2\left( 13-t \right)}{6s-37+2\left( 11-3s \right)}=\frac{2}{3} \\
& \frac{t+13}{16-6s}=\frac{2t-36}{6s-37}=\frac{t+13+2t-36}{16-6s+6s-37}=\frac{3t-23}{-21}=\frac{2}{3} \\
& t=3,s=-\frac{4}{3} \\
& P\left( 3,6,1 \right),Q\left( 11,-9,6 \right) \\
& \overline{PQ}=\sqrt{314} \\
\end{align}\)

想請問填充1
我從答案看出z1z2直線為圓的切線，因此最小值顯而易見
但若z1z2不是切線呢？
是否有任意兩點求距離和最小值的方法？

謝謝鋼琴老師
當初也有想過直接用向量成比例做
可是寫出來看到有兩個變數相乘的st項就沒繼續往下做了

兩球體\(x^2+y^2+z^2\le 1\)與\(x^2+y^2+(z-3)^2\le 9\)共同部分的立體體積為　　　立方單位。
[解答]
所求相當於x^2+(y-3)^2<=9 即 x^2+y^2-6y<=0 與 x^2+y^2<=1,兩交集圖形繞y軸繞出來的體積,其中兩圓周有一交點是(x1,1/6)
故所求=積分( (6y-y^2)*PI*dy ,y=0..1/6) + 積分( (1-y^2)*PI*dy ,y=1/6..1)=7PI/12

想請問各位老師計算第2題的做法，謝謝。

2.
將半徑為10公分的三個球放入一半球形碗中，發現此三球的頂端與此碗頂端位於同一水平面，請問此半球形狀的碗之半徑為多少公分？
[解答]
設大球球心\(O\),三小球球心\(A,B,C\)，\( \Delta ABC\)的重心\(G\)，射線\(OA\)上的大小兩球切點\(D\)，\(\overline{OG}=10\),\( \displaystyle \overline{AG}=10 \frac{2}{\sqrt{3}} \)
則所求\(\displaystyle =\overline{OD}=\overline{OA}+\overline{AD}=\sqrt{\overline{OG}^2+\overline{GA}^2}+10=10(1+\sqrt{\frac{7}{3}})\)

107.6.17新增

計算第 2 題
將半徑為10公分的三個球放入一半球形碗中，發現此三球的頂端與此碗頂端位於同一水平面，請問此半球形狀的碗之半徑為多少公分？
[解答]
設三球與碗面 ( 即題目中的水平面 ) 的切點分別是 A、B、C
半球的球心 O，半徑 R
則 △ABC 是邊長 20 的正三角形，\(\displaystyle \overline{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 20\times \frac{2}{3}=\frac{20}{3}\sqrt{3}\)
\(\displaystyle R=10+\sqrt{10^2+\left(10 \frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}=10(1+\sqrt{\frac{7}{3}})\)

107.6.17新增

謝謝老師的解答！
也謝謝thepiano老師的解答！