106師大附中

填充第 6 題
在 △ADC 中，由正弦定理
\(\begin{align}
  & \frac{\overline{AD}}{\sin \theta }=\frac{\overline{AC}}{\sin \left( \pi -2\theta  \right)}=\frac{\sqrt{3}}{2\sin \theta \cos \theta } \\
& \overline{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta } \\
\end{align}\)

在 △BDC 中，由正弦定理
\(\begin{align}
  & \frac{\overline{BD}}{\sin \left( \pi -2\theta -\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\overline{CD}}{\sin \frac{\pi }{3}} \\
& \frac{1}{\sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta }}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\cos \theta } \\
& \sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)=\cos \theta  \\
& 0<\theta <\frac{\pi }{2} \\
& \theta =\frac{\pi }{18}\ or\ \frac{\pi }{6} \\
& \sin 3\theta =\frac{1}{2}\ or\ 1 \\
\end{align}\)

請參閱
另想請教g112 兄 填充10 您是怎麼算的呢？

填充8
\(
己知線段\overline {AB} 是以C(0,1)為圓心且與函數y = \frac{1}{{|x|-1}}的圖形有交點
\)
\(
的所有圓中半徑最小的圓的一條直徑，O為原點，則向量OA\) \(\cdot \)\(向量 OB？\)

\(如上圖所示，最小圓發生於相切時，可用判別式等於0求得半徑之值\)
\(
取右半圓x>0，設x^2+(y-1)^2=r^2代入\displaystyle y = \frac{1}{{|x|-1}}
\)
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 可得r^2-(y-1)^2 = (\frac{1}{y}+1)^2整理完後得到
\displaystyle y^2-2y+2+\frac{2}{y}+\frac{1}{{y^2 }} =r^2
\end{array}
\)
\(
\displaystyle 再令t = y - \frac{1}{y},整理可得t^2-2t+4-r^2=0
\)
\(
因為最小圓相切恰一解，判別式=0，可得r^2=3，
可取A(0, - \sqrt 3+1)
\)
\(
B(0,\sqrt 3+1)求出所求為-2
(設參數式亦可)
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-28 21:50 編輯 ]

填充 2. 寫得有得長，前面是合理推測答案，後面是證明，順序有得亂，請見諒

\( 106^{106} = 53^{106} \times 2^{106} \)

重點在 53 這個質因數，當兩數模 53 同餘時，兩數相減會有53 這個因數。

因此我們將\( S_n \) 中的元素以模 53 來分類，各分類的元素個數記作 \( x_i \)，滿足 \( \sum x_i =n \)。

令 \( p = \sum \frac{x_i(x_i-1)}{2} \)，則 \( 53^p \) 整除 \( \prod\limits_{i\neq j} (a_i-a_j) \)

而函數 \( f(x) = \frac12 x(x-1) \) 是凸函數，因此 \( p \) "應"在 \( x_i \) 盡量接近時有最小值。

當 \( x_i =3 \), \( i=1,2,3,\ldots, 26 \), \( x_i =2 \), \( i =27,28,\dots 53 \) 時，\( p = 26\times 2 + 27 = 105 \)

取 \( S_n = \{1,2,3 \ldots 132 \} \)，此 \( S_n \) 滿足上行 \( x_i \)，且無 \( 53^2 \mid a_i - a_j \) 之情況，故 \( 53^{105} \) 整除 \( \prod\limits_{i \neq j} (a_i-a_j) \)，但 \( 53^{106} \) 不整除 \( \prod\limits_{i\neq j} (a_i-a_j) \)。

因此 \( n > 132 \)。

當 \( x_i =3 \), \( i=1,2,3,\ldots, 27 \), \( x_i =2 \), \( i =28,29,\dots 53 \) 時，\( p = 27\times 2 + 26 = 107 \)

至此，可相信 \( n \) 之最小值為 \( 3\times 27 + 2\times 26 =133 \)

但證明部分尚缺「而函數 \( f(x) = \frac12 x(x-1) \) 是凸函數，因此 \( p \) "應"在 \( x_i \) 盡量接近時有最小值。」即最小值發生的情況正好是上上行，因為其餘情況，\( 53^{106} \) 必整除 \( \prod\limits_{i \neq j} (a_i-a_j) \)。

而最小值的證明，本等上與凸函數不等式相同，但在這裡 \( x_i \) 是非負整數，也就是離散版的。

運用反證法，假設有 \( x_i,  x_j \) 滿足 \( x_i \geq x_j +2 \)

易驗 \( \frac12 x_i(x_i-1) + \frac12 x_j(x_j-1) > \frac12 (x_i-1)(x_i-2) +\frac12 (x_j+1)x_j \)

因此我們將 \( x_i,  x_j \) 換成 \( x_i-1,  x_j+1 \)，可保持 \( n = \sum x_k \) 不變，但 \( p \) 的值更小。

因此當 \( p \) 達最小值時，任兩個 \( x_i,  x_j \) 必須滿足 \( |x_i -  x_j| \leq 1 \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2017-8-6 14:20 編輯 ]

第十題 小弟試著用GGB繪圖會比較直觀一些
PS：想請教各位老師們Case 1 有沒有比較快的討論法呢？


[解]
Case1：正四面體邊長為6的相交情況


Case2：正四面體邊長為6根號3的相交情況


[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-10 17:51 編輯 ]

請問4樓
填充7如何證明A,D,P共線時，周長最大。

\(
\begin{array}{l}
\overline {AF}  + \overline {PF}  + \overline {PA}  = \overline {AF}  + \overline {PA}  + (2a - \overline {PD} ) \\
  = \overline {AF}  + 2a + \overline {PA}  - \overline {PD}  \le \overline {AF}  + 2a + \overline {AD}  \\
\end{array}
\)
可知當P、A、D共線時有最大值
PS：106新北聯招有出類似題

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-17 16:38 編輯 ]

填充題 13 另解:

公式: 某次選舉，甲得 m 票，乙得 n 票 (m ≥ n)，則開票過程中，甲的票數一路領先的機率 = (m - n) / (m + n)


本題所求為: 開票過程中，甲最多落後乙 1 票的機率 -- 仍可借助上列公式 (若求 "甲一路不落後的機率"，亦可)。

原理: 甲得 99 票、乙得 51 票，甲最多落後乙 1 票的方法數 = 甲得 101 票、乙得 51 票，甲一路領先的方法數。


解:  [ C(152, 101)*(50 /152) ] / C(150, 99) = 151 /202


--------------------------------------

一般用方格圖解，則:

[ C(150, 99) - C(150, 101) ] / C(150, 99) = 151 /202


[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-18 23:21 編輯 ]

想請教計算4
有類似的題目嗎?
謝謝~

前面3#就有laylay老師的解答了
小弟把符號打好再貼一次

請問有高手會證第二部分第5題嗎？！

我想好久，但還是證不嚴謹@@