引用:
原帖由 laylay 於 2017-4-10 21:50 發表 
所求=7^99除以100之餘數(利用 a^100-b^100=(a-b)(aQ+b^99) , 其中a=10^100,b=7)
又 7^4=(50-1)(50-1)=100k+1
故所求=7^3除以100之餘數=43
我這題做出來剛好跟你相反，57
設\(r=100^{100}\)，
原式= \(\displaystyle\left[\frac{r^{100}}{r+7}\right]\)，
設 \(r^{100}\)除以\(r+7\)的商式為\(N\)，則餘式為\((-7)^{100}=7^{100}\)
所以 \(\displaystyle\left[\frac{r^{100}}{r+7}\right]=\left[\frac{7^{100}}{r+7}+N\right]=N\)
再設 \(N=100H+k\) ， \(H\)是正整數，\(k\)為小於10的非負整數，即是所求
由\(r^{100}=(r+7)\cdot N+7^{100}=(r+7)(100H+k)+7^{100}=100Hr+kr+700H+7k+7^{100}\)
\(r^{100}\)與\(100Hr+kr+700H\)皆是100的倍數，所以\(7k+7^{100}\)亦是100的倍數
\(7k+7^{100}=7k+(2401)^{25}\equiv 7k+1 (mod\,10)\)
所以\(7k\)有 99,199,299,399,499,599,699可以選
只有399是7的倍數
所以\(k=57\)
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本帖最後由 5pn3gp6 於 2017-4-10 22:53 編輯 ]
