引用:
原帖由 f19791130 於 2009-8-17 05:09 PM 發表 
若方陣 \(A、B、A+B\) 皆可逆，試證 \(A^{-1}+ B^{-1}\) 可逆
且\(（A^{-1}+ B^{-1}）^{-1}=A（A+B）^{-1}B=B（A+B）^{-1}A\)
請高手解答
設 \(A、B、A+B\) 皆可逆的 \(n\) 階方陣，
則 \(A^{-1}、B^{-1}、（A+B）^{-1}\) 皆存在且為 \(n\) 階方陣，
\(\Rightarrow A^{-1}+B^{-1}\) 亦存在，且為 \(n\) 階方陣。
1. 先證明 \(A（A+B）^{-1}B\) 是 \(A^{-1}+ B^{-1}\) 乘法反矩陣，
從右邊乘，
\(\left(A^{-1}+B^{-1}\right)\cdot A（A+B）^{-1}B=\left(A^{-1}A+B^{-1}A\right) （A+B）^{-1}B\)
\(=\left(I+B^{-1}A\right) （A+B）^{-1}B=\left(B^{-1}B+B^{-1}A\right) （A+B）^{-1}B\)
\(=B^{-1}（B+A） （A+B）^{-1}B=B^{-1}（A+B）（A+B）^{-1}B\)
\(=B^{-1}IB=B^{-1}B=I\)
從左邊乘，
\(A（A+B）^{-1}B\cdot\left(A^{-1}+B^{-1}\right) =A（A+B）^{-1}\left(BA^{-1}+BB^{-1}\right) \)
\(=A（A+B）^{-1}\left(BA^{-1}+I\right)=A（A+B）^{-1}\left(BA^{-1}+AA^{-1}\right)\)
\(=A（A+B）^{-1}\left(B+A\right)A^{-1}=A（A+B）^{-1}\left(A+B\right)A^{-1}\)
\(=AIA^{-1}=AA^{-1}=I\)
所以，\(A（A+B）^{-1}B\) 是 \(A^{-1}+ B^{-1}\) 乘法反矩陣。
2. 因為 \(A+B=B+A\) 且 \(A^{-1}+B^{-1}=B^{-1}+A^{-1}\)，
利用剛剛證出來的結果，將 \(A,B\) 互換，
即可得 \(B（B+A）^{-1}A\) 為 \(B^{-1}+ A^{-1}\) 的乘法反矩陣，
再利用矩陣加法的可交換性，
得，\(B（A+B）^{-1}A\) 為 \(A^{-1}+B^{-1}\) 的乘法反矩陣。
