回復 24# Chen 的帖子
啊~~沒注意 #18 樓，就有構造反例了
填充題7，改成「達到最小值 \(\displaystyle \frac 94 \)」 也是沒有用
知道極值是無法回推限制條件的，不同的限制條件可能在同一組 a,b 時達到最小值
也可能是在另一組 a, b 達到相同的最小值
例 (1) \( a>0 \) 且 \( b>0 \) 且 \( ab=1 \) (2) \( a>0 \) 且 \( b>0 \) 且 \(\displaystyle ab^{2}=\frac{32}{27} \)
\( a+b \) 在 (1) 的條件下，在 \( a = b = 1 \) 時達最小值 2
\( a+b \) 在 (2) 的條件下，在 \(\displaystyle a = \frac23, b = \frac43 \) 時達最小值 2
本題，也可以先取一組 \(\displaystyle (a,b) = (\frac{10}9, \frac53) \)
利用廣義柯西不等式等號成立條件構造限制條件 \(\displaystyle 27a + 32b = \frac{250}3 \)
則由廣義柯西不等式有 \( \left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}\right)\left(27a+32b\right)\left(27a+32b\right)\geq(9+16)^{3} \)
且在 \(\displaystyle (a,b) = (\frac{10}9, \frac53) \)，\(\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}} \) 達最小值 \(\displaystyle \frac{9}{4} \)
