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104板橋高中

farmer

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21^# 大中小發表於 2015-5-24 23:56 只看該作者

回復 17# thepiano 的帖子

太棒了，thank you.

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tuhunger

阿基鴻德

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22^# 大中小發表於 2015-5-25 01:48 只看該作者

第2題另解 (想法)

感謝寸絲老師給一個更嚴謹,更清楚的解釋方式...
我的想法大概是:
首先作與兩軸相切的圓O'...且圓O'與過P點的直線相切...
這樣的話,我們所求的Δ周長=2r
換言之,題目就可以改寫成:圓與兩軸和過P的直線相切,求此圓的直徑最小值?

經過幾次不嚴謹的操作,會發現當P點恰為切點時,此時的圓O'最小(why?)

設P為切點的直線為L, 且過P的割線為L1...
理由1 :"用眼睛"看會發現若圓O'要與L1相切...圓O'會變大(覺得用眼睛看不準,可參考理由2)
理由2 : 假設與L1相切的圓O'才是最小圓, 那麼作L2//L1,且L2切與P為切點那個圓O'
很明顯的,[與P為切點那個圓O' ]小於[與L1相切的圓O'], 原假設矛盾

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2015-5-25 01:48

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windin0420

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23^# 大中小發表於 2015-5-25 13:26 只看該作者

想請問一下

13和17

謝謝

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thepiano

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24^# 大中小發表於 2015-5-25 13:43 只看該作者

回復 23# windin0420 的帖子

第 13 題
前面有

第 17 題
考慮 mod 8

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windin0420

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25^# 大中小發表於 2015-5-25 14:07 只看該作者

回復 24# thepiano 的帖子

想通了!

謝謝

補充想通後的解法真得很感謝thepiano大

第17題
17.
給定一個正整數\(N\)定義\(\displaystyle f(N;x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i\)，
其中\(a_0\)為\(N\)的個位數字，\(a_1\)為\(N\)的十位數字...，\(a_n\)為\(N\)的最高位數
例如：\(f(3456;x)=6+5x+4x^2+3x^3\)，而\(f(3456;1)=6+5\times 1+4\times 1^2+3\times 1^3=18\)
若\(M=12345678910111213\ldots \ldots20142015\)
令\(b_1=f(M;2)\)，\(b_{j+1}=f(b_j;2)\)其中\(j=1,2,3,4,\ldots\)，試求\(\displaystyle \lim_{j \to \infty}b_j=\)　　　。
[解答]
先舉個簡單例子如f(abcd;2)

f(abcd;2)=d+c*2+b*2^2+a*2^3

原本abcd可表示成 d+c*10+b*10^2+a*10^3

則 abcd-f(abcd;2) 會是8的倍數即 abcd=f(abcd;2) (mod 8)

因此 M=b(1)=b(2)=....=b(n) (mod 8)

當n夠大時 b(n)會是個位數

M (mod 8) = 7

7+8=15 & 7-8=-1 非個位數所以只有一解7

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tuhunger

阿基鴻德

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26^# 大中小發表於 2015-5-25 23:51 只看該作者

第12題

12.
對於所有整數\(m,n\)定義\(\left(\matrix{n \cr m}\right)=\cases{\displaystyle \frac{n!}{m!(n-m)!},if　n\ge m\ge 0\cr 0　　　　,otherwise}\)
及數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\matrix{k \cr n-k}\right),n \in N\)，則\(a_{17}\)的值為　　　。
[解答]
除了暴力破解法外, 提供一個小暴力方式

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2015-5-25 23:51

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farmer

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27^# 大中小發表於 2015-5-26 00:19 只看該作者

回復 22# tuhunger 的帖子

很好的想法，thank you

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g112

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28^# 大中小發表於 2015-5-28 01:17 只看該作者

引用:

原帖由 tuhunger 於 2015-5-25 11:51 PM 發表
除了暴力破解法外, 提供一個小暴力方式

能請教一下為什麼可以看成是費式數列??

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tuhunger

阿基鴻德

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29^# 大中小發表於 2015-5-28 16:30 只看該作者

回復 28# g112 的帖子

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_05_07_1/page3.html

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tuhunger

阿基鴻德

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30^# 大中小發表於 2015-5-28 23:17 只看該作者

第6題幾合解法

6.
若\(k\)為整數，且\(\displaystyle x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi\)，則函數\(\displaystyle f(x)=\frac{2tanx}{1+2secx}\)的最大值為　　　。
[解答]
小弟提供一個幾合的解法供各位參考....(代數方式可用"正餘弦疊合"試試看)

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2015-5-28 23:17

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104板橋高中

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第2題 另解 (想法)

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第12題

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回復 22# tuhunger 的帖子

引用:

回復 28# g112 的帖子

第6題 幾合解法

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第2題另解 (想法)

第6題幾合解法