104鳳山高中

那樣的話應該會得到一個a的區間，沒有一個定值

by the way,這次檔案不到2MB，應該沒問題了吧

修正錯字

詳解填充第三題的答案打錯了喔

是的，只能畫圖求解，
這樣的話 a= -1 或 -3，
a= -1 的話有一個交點，
a=-3 的話有3個交點。

信哥的詳解有許多漂亮的解法，
圖也畫得很漂亮，功德無量。

第12題
(4n+1)(5n+1) 為完全平方數，
且 4n+1 與 5n+1 互質，
因此 4n+1 與 5n+1 皆為完全平方數。
可一一代入嘗試，得到 4n+1=17^2=289 時，
5n+1=361=19^2。
或者設4n+1=a^2 ，5n+1=b^2
則 5*a^2-4*b^2=1，求a，b的正整數解，
此為pell 方程，其中 a,b的最小正整數解為 a=p(=1)，b=q(=1)，
考慮 ((根號5)*p+2*q) 的奇數次方，其係數即對照到 a，b 的通解。
下一組解應對照 ((根號5)+2) ^3，其係數分別為17與19。

請問有老師可以提供計算證明題的證明嗎？
謝謝！

證明2. 注意到 \( xy = \frac{xyz}{z} \), \( yz = \frac{xyz}{x} \), \( zx = \frac{xyz}{y} \)，又 \( x,y,z \) 皆正

因此 \( xy, yz, zx \) 的大小排序與 \( \frac1z, \frac1x,\frac1y \) 相同，而與 \( z,x,y \) 的大小排序恰相反

\( (xy)^2, (yz)^2, (zx)^2 \) 及 \( z,x,y, \) 由排序不等式 (逆序和 \( \leq \) 亂序和)

得 \( x^2y^2z + y^2z^2x +z^2x^2y \leq x^2y^2x + y^2z^2y + z^2x^2z = x^3y^2 + y^3z^2 + z^3x^2 \)

應該有很多種證法，算幾或柯西應該都是可以走的路，我只是單純想玩一下排序而已

再補一個算幾，

\( \frac{4x^{3}y^{2}+2y^{3}z^{2}+z^{3}x^{2}}{7}+\frac{x^{3}y^{2}+4y^{3}z^{2}+2z^{3}x^{2}}{7}+\frac{2x^{3}y^{2}+y^{3}z^{2}+4z^{3}x^{2}}{7}\geq x^{2}y^{2}z+y^{2}z^{3}x+z^{2}x^{2}y \)

其中 \( 4x^3y^2 = x^3y^2 + x^3y^2 + x^3y^2 + x^3y^2 \)，其它項亦同

如果用畫圖的方式，a=-1"好像"不會跟二次函數相交，可是如何確定呢？

真的要嚴格確認的話，要將x分段討論，
右式的值恆>=1，且等號只成立在x=1 時，
當 -2<x<4 時，左式的值都<=1，因此在這段範圍內只有一解 x=1。
當x<= -2 或 x>=4 時，拆絕對值之後，可得x無實數解。