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請教一軌跡問題

arend

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1^# 大中小發表於 2009-5-14 00:31 只看該作者

請教一軌跡問題

在圓x^2+y^2=9上任取一點C, 過C作圓的切線L1, 過點A(3,0)作此切線L1的垂線L2, 點B(-3 , 0)連BC射線交L2於P點, 求動點P的軌跡方程式

謝謝

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weiye

瑋岳

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2^# 大中小發表於 2009-5-14 11:25 只看該作者

引用:

原帖由 arend 於 2009-5-14 12:31 AM 發表
在圓x^2+y^2=9上任取一點C, 過C作圓的切線L1, 過點A(3,0)作此切線L1的垂線L2, 點B(-3 , 0)連BC射線交L2於P點, 求動點P的軌跡方程式

謝謝

若 C 與〝A 或 B〞都不是同一點.

Part 1:

以下欲證明 AP=AB，亦即要證

CBA=

CPA

如下圖，設 D 為 L1 與 L2 的交點，連 AC，則

在

ACD 中，因為

ADC=90

，所以

ACD=90

−

CAD

(1)

在

ACP 中，因為

ACP=

ACB=90

，所以

CPA=90

−

CAP

(2)

由 (1)

(2)，可得

CPA=

ACD ，且因為

ACD=21

AC

（弦切角）

所以，

CPA=21

AC

(3)

而

CBA=21

AC （圓周角）

(4)

由 (3)

(4)，可得

CBA=CPA

APB 為等腰三角形，得 AP=AB

亦即 P 在〝以 AB 為半徑，以 A 為圓心的圓〞之圓周上.

Part 2:

反之，設 P 為〝以 AB 為半徑，以 A 為圓心的圓〞之圓周上之任意點，

且 P 異於 B 與〝B 對於 A 的對稱點〞.

連接 \overline{CB} 使之交已知小圓於 C，過 C 作 \overline{CD} 垂直 \overline{AP} 於 D 點，

（下寫的比較簡略）

可得 \angle DCA = \angle CPA =\angle CBA = \frac{1}{2} {\frown \atop {AC}}，

亦即 \angle DCA 為弦切角 \Rightarrow\; \overleftrightarrow{CD} 為切線.

故，〝以 \overline{AB} 為半徑，以 A 為圓心的圓〞之圓周上的任意點，

只要異於 B 與〝B 對於 A 的對稱點〞，都會滿足題目要求的 P 的條件.

若 C 可為 A 或 B，則分別可得 P 為 B 與〝B 對於 A 的對稱點〞.

故，P 點軌跡圖形為〝以 \overline{AB} 為半徑，以 A 為圓心的圓〞.

多喝水。

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arend

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3^# 大中小發表於 2009-5-14 19:55 只看該作者

謝謝瑋岳老師提供這麼精彩的幾何解

裡面有些疑惑想請教老師一下
為何----在 ΔACP 中，

∠ACP=∠ACB

謝謝

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weiye

瑋岳

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4^# 大中小發表於 2009-5-14 20:07 只看該作者

因為 \overline{AB} 是直徑，所以 \angle ACB = 90^\circ （半圓的圓周角），

\Rightarrow \; \angle ACP = 180^\circ - \angle ACB = 90^\circ，

所以 \angle ACP = \angle ACB.

多喝水。

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老王

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5^# 大中小發表於 2009-5-18 20:41 只看該作者

何不將C點和AB中點(圓心)連接起來

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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weiye

瑋岳

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6^# 大中小發表於 2009-5-18 21:30 只看該作者

引用:

原帖由老王於 2009-5-18 08:41 PM 發表
何不將C點和AB中點(圓心)連接起來

好方法，將 C 與 \overline{AB} 的中點(稱 O) 連起來，

因為 \overline{CO}\perp L_1 (L_1 為切線) 且 L_2 \perp L_1，

所以 \overline{CO}//\overline{AP}，

且因為 O 為 \overline{AB} 的中點，

則 \overline{AP} = 2 \overline{CO} = \overline{AB}.

^__^

多喝水。

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老王

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7^# 大中小發表於 2009-5-19 16:45 只看該作者

啊，這樣是很好啦，不過我原本的意思是
BP=2BC
所以這是一個以B為心，放大率為2的相似變換

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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