103新化高中

小弟會用長除法，除個兩三次就知道答案了

請教填充1 : 3
還有填充1: 8 ; 這題不就算x^2+y^2>1與(x-1)^2+(y-1)^2<1 的面積 ? 我的答案是2-(pi/2), 不知錯哪裡
謝謝

第3題
\(\langle\;a_n\rangle\;\)、\(\langle\;b_n\rangle\;\)為兩個公差不為0的等差數列，若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{4}{3}\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_1+a_2+\ldots+a_{3n}}{nb_n}=\)　　　。
[解答]
設\(\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle \)之公差為\({{d}_{1}}\)，\(\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle \)之公差為\({{d}_{2}}\)
由\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\frac{4}{3}\)可知\({{d}_{1}}=\frac{4}{3}{{d}_{2}}\)
……

第8題
在\(xy\)平面上，則不等式\(\sqrt{x}\sqrt{y}(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-2x-2y+1)\le 0\)的圖形區域面積為　　　。
[解答]
考慮
\(\begin{align}
  & x\ge 0 \\
& y\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ge 1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 1,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 1 \\
\end{align}\)

謝謝piano老師, 第8:我漏算了第二部分

能否請教一下填充第一大題第4題以及第12題
謝謝!

第4題
對任意實數\(x\)，若函數\(y=f(x)\)恆滿足\(f(8-x)=f(x)\)，且方程式\(f(x)=0\)之實根和為576，則方程式\(f(x)=0\)恰有　　　個不等實根。
[解答]
\(f\left( 8-x \right)=f\left( x \right)\)
令\(x=4+t\)
\(f\left( 4-t \right)=f\left( 4+t \right)\)表示\(y=f\left( x \right)\)的圖形關於\(x=4\)對稱
所求\(=\frac{576}{4}=144\)

第12題
\(m\)為實數，已知四次方程式\(3x^4-4mx^3+1=0\)無實根，求\(m\)的範圍　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4m{{x}^{3}}+1 \\
& f'\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12m{{x}^{2}}=12{{x}^{2}}\left( x-m \right)=0 \\
\end{align}\)
故\(f\left( 0 \right)和f\left( m \right)\)為\(f\left( x \right)\)之極值
由於\(f\left( x \right)=0\)無實根
\(\begin{align}
  & f\left( 0 \right)=1>0 \\
& f\left( m \right)=3{{m}^{4}}-4{{m}^{4}}+1>0 \\
& -1<m<1 \\
\end{align}\)

感謝piano老師詳細的解說,
本來第12題想用y=3x^4 +1  以及 y=4mx^3  來作圖求解,還是卡住...

請教填充II,第四題
我始這樣想:期望值=n*(1/n^2)+(n-1)*(3/n^2)+(n-2)*((3^2-2^2)/n^2)+....+0
不知這樣是否正確? 答案也求不出來
謝謝

第二大題第4題
靶上有\(n\)個同心圓\(C_i(i=0,1,2,3,\ldots,n)\)，\(C_0\)表示這些同心圓的圓心，其半徑分別為0、\(\displaystyle \frac{1}{n}\)、\(\displaystyle \frac{2}{n}\)、\(\ldots\)、\(\displaystyle \frac{n}{n}\)。射擊一次，若擊中\(C_{i+1}-C_i\)地帶，則可得\((n-i)\)元\((i=0,1,2,3,\ldots,n-1)\)。假設整個靶面恰分成此\(n\)個地帶，射中靶面時必落在此\(n\)個地帶其中之一，則射擊一次(射擊都不會落在靶外)所獲利的期望值為　　　元。
[解答]

謝謝piano老師
我昨天可能計算出錯了
在一次謝謝你