也可參考這篇丁老師的作品
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d294/29410.pdf
裡面有提到橢圓兄所列的參考公式，順帶整理一下本題：
設三角形三邊為\(a,b,c\), \(s=\frac{a+b+c}{2}\), 面積為\(A\), 對應的旁切圓半徑為\({{r}_{a}},{{r}_{b}},{{r}_{c}}\), 則
(1) \(A=\left( s-a \right){{r}_{a}}=\left( s-b \right){{r}_{b}}=\left( s-c \right){{r}_{c}}\)
(2) \(ab+bc+ca={{s}^{2}}+4Rr+{{r}^{2}}\)
(3) \(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c}=\frac{4R+r}{rs}\)
(4) 旁心三角形的面積\({{A}_{p}}=2Rs\), 故旁心三角形與原三角形的面積比值為\(\frac{2R}{r}\).
< Pf > (1) 請參閱文章(有圖比較清楚)
(2) 由海龍公式可推得\(\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)={{r}^{2}}s\), 故
\({{s}^{3}}-\left( a+b+c \right){{s}^{2}}+\left( ab+bc+ca \right)s-abc={{r}^{2}}s\), 結合\(abc=4Rrs\), 整理得到
\(ab+bc+ca={{s}^{2}}+4Rr+{{r}^{2}}\).
(3) \(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c}=\frac{ab+bc+ca-{{s}^{2}}}{\left( s-a \right)\left( s-b \right)\left( s-c \right)}=\frac{4Rr+{{r}^{2}}}{{{r}^{2}}s}=\frac{4R+r}{rs}\)
(4) \({{A}_{p}}=\frac{1}{2}\left( a{{r}_{a}}+b{{r}_{b}}+c{{r}_{c}} \right)+rs=\frac{1}{2}\left( a\cdot \frac{rs}{s-a}+b\cdot \frac{rs}{s-b}+c\cdot \frac{rs}{s-c} \right)+rs\)
\(=\frac{1}{2}rs\left( \frac{a}{s-a}+\frac{b}{s-b}+\frac{c}{s-c} \right)+rs=\frac{1}{2}rs\left( \frac{s}{s-a}+\frac{s}{s-b}+\frac{s}{s-c}-3 \right)+rs\)
\(=\frac{1}{2}rs\left( s\cdot \left( \frac{1}{s-a}+\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s-c} \right)-3 \right)+rs=\frac{1}{2}rs\left( s\cdot \frac{4R+r}{rs}-3 \right)+rs=2Rs\), 證畢。
故旁心三角形，原三角形與內接圓三切點所形成的三角形面積會成一等比數列
