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高中數學資優題

Amis

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1^# 大中小發表於 2014-6-10 09:16 只看該作者

高中數學資優題

想請問這兩題該怎麼解？

7.
方程式x3−6x2+3x+1=0的三根

都是實數。
(i)試求出

3+

3的值；
(ii)試求出(

2+1)(

2+1)的值；
(iii)已知

滿足

1

，試求出

k=0

−

k

k=0

−

k

k=0

−

k

的值。

8.
已知實數x

y

z滿足(x+y+z)(y+z)(z+x)(x+y)

=0且x2y+z+y2z+x+z2x+y=0。試求
(i)xy+z+yz+x+zx+y的值；

(ii)x2yz+zxy2+z2xy的值。

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hua0127

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2^# 大中小發表於 2014-6-12 12:01 只看該作者

回復 1# Amis 的帖子

7(III)：
先利用勘根知此三根位在區間

−1

0

1

5

6

再由條件

1

與二分法, 推出

−1

0

1

5

6

故

1

1, 所求為

11+

=

+

=−1f

6

=19−1

8. 一定有更快的做法，我這作法很暴力，毫無美感冏，看看就好…
x2

y+z

+y2

z+x

+z2

x+y

=

y+z

z+x

x+y

x2

z+x

x+y

+y2

y+z

x+y

+z2

y+z

z+x

=0 考慮將上式因式分解，利用輪換的觀念，發現有x+y+z之因式，故得到

y+z

z+x

x+y

x+y+z

x3+y3+z3+xyz

=0

x3+y3+z3+xyz=0
(i) 所求為
x

y+z

+y

z+x

+z

x+y

=

y+z

z+x

x+y

x

z+x

x+y

+y

y+z

x+y

+z

y+z

z+x

=

y+z

z+x

x+y

x3+y3+z3+xyz+

y+z

z+x

x+y

=1

103.06.13 謝謝鋼琴老師指正，中間有計算錯誤，已修正

(ii) 所求為x2yz+zxy2+z2xy=xyzx3+y3+z3=−1

這題值得再想想…..

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 10:16 PM 編輯 ]

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Ellipse

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3^# 大中小發表於 2014-6-13 22:32 只看該作者

回復 2# hua0127 的帖子

hua0127 兄說#8一定有更快的做法,於是小弟就花點時間想這題~
剛開始想用根與係數方式,後來發現行不通~
於是換個想法,想到一個妙解~不用將它們全部展開再分解~
#8
令x+y+z=s,將原式改成
[x²-(y+z)²] /(y+z)  + [y²-(z+x)²] /(z+x)  +[z²-(x+y)²] /(x+y) = -2(x+y+z)=-2s
s*[x-(y+z)] /(y+z)  + s*[y-(z+x)] /(z+x)  +s*[z-(x+y)] /(x+y) = -2s
[x-(y+z)] /(y+z)  + [y-(z+x)] /(z+x)  +[z-(x+y)] /(x+y) = -2  (因s不為0)
x/(y+z)  + y/(z+x)  +z /(x+y)  -3 = -2
所以x/(y+z)  + y/(z+x)  +z /(x+y)  =1

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-13 10:41 PM 編輯 ]

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thepiano

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4^# 大中小發表於 2014-6-13 22:58 只看該作者

第2小題
易知x

y

z

=0

\begin{align} & \frac{{{x}^{2}}}{y+z}=-\frac{{{y}^{2}}}{z+x}-\frac{{{z}^{2}}}{x+y} \\ & \frac{x}{y+z}=-\frac{{{y}^{2}}}{zx+{{x}^{2}}}-\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}+xy} \\ & \frac{y}{z+x}=-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}+yz}-\frac{{{z}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}} \\ & \frac{z}{x+y}=-\frac{{{x}^{2}}}{yz+{{z}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}+zx} \\ & \\ & \frac{1}{{{y}^{2}}+yz}+\frac{1}{yz+{{z}^{2}}}=\frac{1}{y\left( y+z \right)}+\frac{1}{z\left( y+z \right)}=\frac{z+y}{yz\left( y+z \right)}=\frac{1}{yz} \\ & \frac{1}{{{z}^{2}}+zx}+\frac{1}{zx+{{x}^{2}}}=\frac{1}{zx} \\ & \frac{1}{{{x}^{2}}+xy}+\frac{1}{xy+{{y}^{2}}}=\frac{1}{xy} \\ & \\ & \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=-\left( \frac{{{x}^{2}}}{yz}+\frac{{{y}^{2}}}{zx}+\frac{{{z}^{2}}}{xy} \right) \\ & \frac{{{x}^{2}}}{yz}+\frac{{{y}^{2}}}{zx}+\frac{{{z}^{2}}}{xy}=-1 \\ \end{align}

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hua0127

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5^# 大中小發表於 2014-6-13 23:21 只看該作者

回復 4# thepiano 的帖子

哇~~這真的是太神了~這方法才對嘛

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Ellipse

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6^# 大中小發表於 2014-6-14 11:08 只看該作者

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-13 11:21 PM 發表
哇~~這真的是太神了~這方法才對嘛

鋼琴兄的神算比小弟還厲害~
這題難在想從A(原條件)走到B(所求)
中間的足跡(線索)幾乎都被抹掉了
要很細心,很仔細去反推這些數運算的性質
才能把足跡慢慢的顯現出來~

只是很好奇這些題目原出處是哪裡?
是否可請原PO說一下
這些給"一般"高中資優生來做
應該是不容易想出來吧?

還是很佩服出這題的作者
畢竟我們只是解題者而已

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Amis

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7^# 大中小發表於 2014-6-19 07:59 只看該作者

回復 6# Ellipse 的帖子

原出處我不是很清楚，
這題目好像是某補習班老師在為一些資優教育訓練所出的題目，
我也是被別人拿來問，
想說po上來和大家討論一下！

謝謝大家的熱情討論～

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