103臺中女中

凡狡兔三窟 , 青蛙亂跳...等問題...若次數20次以下, 用下列方式其實算蠻快的
參考看看

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2014-6-11 01:50 AM 編輯 ]

請教橢圓兄，填充 1. 中所用的式子

公式：\( \displaystyle \frac{a^3}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^3}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^3}{(c - a) (c - b)} = a+b+c \)

有無簡潔之證明 (會證是會證，但是證得不好看而且寫起來不順手)

令\(\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{4}}-\left[ \frac{{{a}^{4}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-b \right)}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]=0\)
之四根為 a、b、c、d
\(\begin{align}
  & f\left( 0 \right)=-\left[ \frac{{{a}^{4}}bc}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{a{{b}^{4}}c}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{ab{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]=abcd \\
& \frac{{{a}^{3}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{3}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{3}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}=-d=a+b+c \\
&  \\
\end{align}\)

鋼琴老師好漂亮的證法~受教了

帥!鋼琴兄的神解~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:30 PM 編輯 ]

幫忙打字,節省論壇空間
Q：試證\( \displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}=a+b+c \)
pf：Lemma
\( \displaystyle \frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}=0 \)－－①

\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1 \)－－②

設所求為k－－③，令\( \displaystyle x=\frac{1}{(a-b)(a-c)} \)，\( \displaystyle y=\frac{1}{(b-c)(b-a)} \)，\( \displaystyle z=\frac{1}{(c-a)(c-b)} \)－－④

可列出聯立方程組\( \displaystyle \cases{ax+by+cz=0 \cr a^2x+b^2y+c^2z=1 \cr a^3x+b^3y+c^3z=k} \)
∴\( \displaystyle \Delta=\left|\ \matrix{a & b & c \cr a^2 & b^2 & c^2 \cr a^3 & b^3 & c^3} \right|\ =abc(a-b)(b-c)(c-a) \)

\( \displaystyle \Delta \cdot x=abc(a-b)(b-c)(c-a)\cdot \frac{1}{(a-b)(a-c)}=-abc(b-c) \)－－⑤

又\( \Delta_x=\left|\ \matrix{0 & b & c \cr 1 & b^2 & c^2 \cr k & b^3 & c^3} \right|\ =bc(b-c)(b+c-k) \)－－⑥
比較⑤& ⑥　∴\( b+c-k=-a \)，\( k=a+b+c \)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:40 PM 編輯 ]

請教一下， 鋼琴老師的妙解是否可作如下修改: (已知 a，b，c 皆相異)


f(x) = x³ - [a³(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c) + b³(x-a)(x-c)/(b-a)(b-c) + c³(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)] = 0 之三根為 a，b，c 。


[...] 內為滿足 f(a) = a³，f(b) = b³，f(c) = c³ 之二次函數。

考慮 f(x) = 0 之三根和，由根與係數關係，得:


a³/(a-b)(a-c) + b³/(b-a)(b-c) + c³/(c-a)(c-b) = a + b + c

之所以想這樣改，是覺得上面的思維與拉格朗日插值法有較緊密的聯繫，而原待證式在型態上亦與拉格朗日插值公式有相似處，或許比較容易聯想出來。

這樣簡捷很多，分子是四次的也可以這樣玩
\(\frac{{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-12 03:58 PM 編輯 ]

好厲害，Ellipse 兄和鋼琴兄兩位當真神人也！

bugmens兄,不好意思麻煩您了~
有空再來學LATEX的語法
對了,在用電腦看時
怎有時候相鄰兩列會疊在一起?
有時字會有大有小?