解一題填充2：
以前看過類似的題目，是兩人賭錢的問題求某人把錢贏光的機率：
本題假設\(\left\{ {{P}_{n}} \right\}\)的一般項\({{P}_{k}}\)表示一開始位置落在數線上\(k\)時，質點能落在-1的機率，則所求為\({{P}_{0}}\).
(1) 先觀察 \({{P}_{0}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{{P}_{1}}\),
(2) \({{P}_{1}}\)表示一開始在1要走到-1的機率，由乘法原理，可以拆成兩個步驟：1走到0, 0走到-1，兩步驟機率都是\({{P}_{0}}\), 故\({{P}_{1}}={{\left( {{P}_{0}} \right)}^{2}}\)
(3) 代回上式，解\({{P}_{0}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{{\left( {{P}_{0}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{P}_{0}}=\frac{1}{2}\) (向右的機率比較大，故\({{P}_{0}}=1\)不合)
這題值得一提的是，若向右向左的機率依樣時，則不斷持續的擲下去，百分之百會跑到-1, 有點不太直觀。
(剛剛看到版主有在 #2 附上本題的相關文章，寫得比我清楚多了，大家也可以參考)
填充3： \(\int_{0}^{4}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}\)
填充4：跟103武陵高中第9題類似，作法差不多
填充5：生成函數或者重複組合
填充7：好像有公式，不太確定能不能用紅球與非紅球的觀念下去帶
填充10：不論是哪連續三列寫開，答案都是 1 / 2
計算11：
之前看過寸絲兄用過的神招，印象深刻，算是現學現賣XD
考慮拋物線 \({{y}^{2}}=8px\), 過焦點\(\left( 2p,0 \right)\)與拋物線所截的所有線段中，以正焦弦所在直線\(x=2p\)所截的長度為最短。考慮線性映射\(\left( x,y \right)\mapsto \left( x,\frac{y}{2} \right)\) ,將\(y\)座標壓(伸縮)為\(\frac{1}{2}\)倍，可得到拋物線\({{y}^{2}}=2px\) , 故過\(\left( 2p,0 \right)\)與此拋物線所截的所有線段中，亦以直線\(x=2p\)所截的長度為最短，證畢。
103.07.26 小弟這邊處理的不夠細膩，請在參閱寸絲兄在 #27 的補充說明。
計算15：
用Jacobian證：
考慮\(x=0,y=0,z=0,x={{d}_{1}},y={{d}_{2}},z={{d}_{3}}\) 所圍區域體積為\(V=\left| {{d}_{1}}{{d}_{2}}{{d}_{3}} \right|\)
考慮線性變換：
\( \displaystyle \left\{ \begin{align}
& x={{a}_{1}}x'+{{b}_{1}}y'+{{c}_{1}}z' \\
& y={{a}_{2}}x'+{{b}_{2}}y'+{{c}_{2}}z' \\
& z={{a}_{3}}x'+{{b}_{3}}y'+{{c}_{3}}z' \\
\end{align} \right.\Rightarrow \frac{\partial \left( x,y,z \right)}{\partial \left( x',y',z' \right)}=\left| \begin{matrix}
{{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \\
{{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \\
{{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}} \\
\end{matrix} \right|=\Delta \)
則\( \displaystyle V'=\left| \frac{\partial \left( x',y',z' \right)}{\partial \left( x,y,z \right)} \right|V=\frac{V}{\Delta }\), 得證
純幾何的方式可能等高手待補，這一塊小弟不是很擅長XD
[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-26 08:10 PM 編輯 ]
