103武陵高中

填充4：

同意鋼琴師的說法~~小弟在考場做這題大概做到一半就會想跳過(時間壓力+數字太醜)

這題我知道的傳統做法是考慮
\(\left\{ \begin{align}
  & y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}} \\
& y=kx+6 \\
\end{align} \right.\) 圖形有三個相異交點時求k的範圍
所以要考慮 \(y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}}\) 過點 \(\left( 0,6 \right)\) 的切線
令切點為 \(\left( t,{{t}^{3}}-8{{t}^{2}} \right)\), 則求解 \(3{{t}^{2}}-16t=\frac{{{t}^{3}}-8{{t}^{2}}-6}{t}\Rightarrow t=1,\frac{3\pm \sqrt{21}}{2}\)
考慮對應三個切點的相對位置 \(\frac{3-\sqrt{21}}{2}<1<\frac{3+\sqrt{21}}{2}\) 且
\(f'\left( \frac{3-\sqrt{21}}{2} \right)=\frac{-3+7\sqrt{21}}{2},f'\left( 1 \right)=-13,f'\left( \frac{3+\sqrt{21}}{2} \right)=\frac{-3-7\sqrt{21}}{2}\)  
由圖形可看出斜率k的所求範圍為\(\left\{ \left. k \right|k>\frac{-3+7\sqrt{21}}{2}or\frac{-3-7\sqrt{21}}{2}<k<-13 \right\}\)
有其他更好算的方法等高手們待補

(話說剛才看到瓜農兄提到的臨界點法應該就是這方法，沒幫到啥忙有點不好意思XD)

PS. 最後一題幾何題真的是非常難，能想到寸絲兄的方式證真的是非人也!!

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-5 09:37 AM 編輯 ]

請教鋼琴師
x+y=5x+3y=1 看不懂如何變換
還有要把對應直線常數項變相同的原因是？
先說說我自己的想法好了  也不曉得錯在哪
考慮矩陣A將L1,L2之方向向量＜1，-1＞‘，＜3，2>‘帶往L1',L2'的法向量＜3，2＞′ ，＜4，-5＞ ′解A得【2，-1；-1/5，-11/5】 ；表下一列
請賜教了 謝謝

另外謝謝hua大 ，有幫到我大忙，我是被k給困住，我本來直接微分以k表示臨界點，再考慮兩臨界點函數值一正一負去解的。

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-6-5 11:54 AM 編輯 ]

\(\begin{align}
  & x+y=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left[ \begin{matrix}
   1 & 1  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
\end{matrix} \right]=1 \\
& 5x+3y=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left[ \begin{matrix}
   5 & 3  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
\end{matrix} \right]=1 \\
\end{align}\)


由於二階方陣A將\(x+y=1\)變換為\(5x+3y=1\)
故
\(\begin{align}
  & \left[ \begin{matrix}
   1 & 1  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
   5 & 3  \\
\end{matrix} \right]A\left[ \begin{matrix}
   x  \\
   y  \\
\end{matrix} \right] \\
& \left[ \begin{matrix}
   1 & 1  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
   5 & 3  \\
\end{matrix} \right]A \\
\end{align}\)


同理
\(\left[ \begin{matrix}
   2 & -3  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
   -5 & -4  \\
\end{matrix} \right]A\)


合併寫成
\(\left[ \begin{matrix}
   1 & 1  \\
   2 & -3  \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
   5 & 3  \\
   -5 & -4  \\
\end{matrix} \right]A\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-5 12:51 PM 編輯 ]

瓜農兄 你的L1'的方向向量應為 ( 3，-5)  這樣代入 A 可解出本題正解，

不過這樣解好像會有些危險XD，因為矩陣變換的確能把方向向量映到方向向量，
但是不一定剛好是直線方程式上看到的"係數"，中間可能會差一個常數倍，

舉例來說，矩陣\(A=\left( \begin{matrix}
   3 & -1  \\
   1 & -2  \\
\end{matrix} \right)\) 將直線 \(2x+y=1\) 映至 直線 \(x-y=1\) 但是方向向量

\(A\left( \begin{matrix}
   1  \\
   -2  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   5  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)=5\left( \begin{matrix}
   1  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)\ne \left( \begin{align}
  & 1 \\
& 1 \\
\end{align} \right)\)

但本題的情況剛好常數倍是1

謝謝
原來#34才是正確版考題
我載到另一份系數有點差異
所以說兩條線各找兩點對應過去有四條件解出A是最保險的方法囉

兩條線各找兩點對應過去有四條件解出A在計算方面可能不是最保險XD
最有效率的做法還是鋼琴老師在前面的作法，應該也是得分上最保險的作法

同意55# hua 大的想法!
分享一下 讓我想很久的第二題給大家
我被上下左右搞得頭暈眼花的
這題我想還是別用圓盤法
但考慮比較好手算的殼層法要小心判斷兩函數圖型繞x軸轉一圈時，
判斷包園區域中哪個函數離x軸較高，如此分段積分得分三段
如附件(不會貼圖@@)
參考以下縮網址
http://ppt.cc/WOMS

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-5 11:05 PM 編輯 ]

這題大概就像hua0127兄的做法~
y=x^3-8x^2-6 ,y=kx
只能細心一點,畫圖+計算不要錯誤,才能拿到分數~
若遇到這種題目,小弟會放在最後再做~

我發現我第七題做不出來@@
題為
若  0<=x<2pi
已知 3sinx-4kcosx+(3+8k)=0
x有兩相異實根, 求k 範圍
請賜教...

\(\sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}},\cos x==\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\)
代入後，整理成 t 的二次方程，再用判別式