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103華僑高中

arend

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21^# 大中小發表於 2014-5-12 21:11 只看該作者

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原帖由 thepiano 於 2014-5-12 08:18 PM 發表
計算第 3 題(1)
補個答案好了
四面體 ABCD 的體積為 8√3，△ABD = △BCD = 2√21，△ABC = △ACD = 12
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 之最小值為 72/19

謝謝鋼琴師

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arend

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22^# 大中小發表於 2014-5-13 20:07 只看該作者

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-12 08:18 PM 發表
計算第 3 題(1)
補個答案好了
四面體 ABCD 的體積為 8√3，△ABD = △BCD = 2√21，△ABC = △ACD = 12
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 之最小值為 72/19

敢問鋼琴師
四面體 ABCD 的體積為 8√3
這是如何算出? 今天忙了一整天都沒弄出頭緒來

不好意思,再度打擾你

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tacokao

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23^# 大中小發表於 2014-5-13 21:02 只看該作者

回復 22# arend 的帖子

由頂點A作高至BCD平面，高為12/根號7(高的作法：我是分別做三角形ABD、BCD的高(垂足為M)再跟AC為成的三角形AMC，再由AMC面積求出MC上的高，此高級為四面體的高囉)，這樣就可以做出體積了!!!!

[ 本帖最後由 tacokao 於 2014-5-13 09:05 PM 編輯 ]

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thepiano

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24^# 大中小發表於 2014-5-13 21:16 只看該作者

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原帖由 arend 於 2014-5-13 08:07 PM 發表
四面體 ABCD 的體積為 8√3
這是如何算出?

先畫一個邊長 5 cm 的菱形 ABCD，其中對角線 BD = 4
沿 BD 把 △ABD 折起來，讓 AC = 6

作 AE 垂直 BD 於 E，則 CE 也垂直 BD 於 E (E 點也是原本菱形對角線之交點)
AE = CE = √(5^2 - 2^2) = √21

令平面 ABD 和平面 CBD 的夾角 ∠AEC = θ
AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2 * AE * CE * cosθ
cosθ = 1/7
sinθ = (4/7)√3

四面體的高 = AE * sinθ = (12/7)√7

體積 = (1/3) * △CBD * (12/7)√7 = (1/3) * 2√21 * (12/7)√7 = 8√3

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sorze

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25^# 大中小發表於 2014-5-13 23:12 只看該作者

回復 22# arend 的帖子

以邊長為5.5.6的三角形為底
連連看後中間會有個邊長為4的正三角形
此三角形的高就是以5.5.6為底四面體的高

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arend

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26^# 大中小發表於 2014-5-14 00:44 只看該作者

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原帖由 thepiano 於 2014-5-13 09:16 PM 發表

先畫一個邊長 5 cm 的菱形 ABCD，其中對角線 BD = 4
沿 BD 把 △ABD 折起來，讓 AC = 6

作 AE 垂直 BD 於 E，則 CE 也垂直 BD 於 E (E 點也是原本菱形對角線之交點)
AE = CE = √(5^2 - 2^2) = √21

令平面 ABD 和平面 ...

謝謝鋼琴老師
我的作法是以一5,5,6為xy平面,頂點為(a,b,c),利用距離求出高c的值,問題我求的b值為0, 不知哪裡弄錯
所以上來請教老師,我又學到一個新方法,
謝謝

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arend

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27^# 大中小發表於 2014-5-14 00:50 只看該作者

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原帖由 sorze 於 2014-5-13 11:12 PM 發表
以邊長為5.5.6的三角形為底
連連看後中間會有個邊長為4的正三角形
此三角形的高就是以5.5.6為底四面體的高

sorze師,我原先的作法與你相似
但我沒發覺有邊長為4的正三角形
我還用去設頂點座標去解頂點的c值,謝謝提醒

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frombemask

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28^# 大中小發表於 2014-5-14 14:45 只看該作者

第三題的第二小題

請問第三題的第二小題要如何做呢?

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thepiano

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29^# 大中小發表於 2014-5-14 15:39 只看該作者

計算第 3 題
(2) 延續第 (1) 小題的做法

定座標
P(x，y，z)
A(0，(-1/7)√21，(12/7)√7)
B(-2，0，0)
C(0，-√21，0)
D(2，0，0)

PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2
= x^2 + [x - (-2)]^2 + x^2 + (x - 2)^2 + [y - (-1/7)√21]^2 + y^2 + [y - (-√21)]^2 + y^2 + [z - (12/7)√7]^2 + z^2 + z^2
+ z^2

最小值出現在
x = [0 + (-2) + 0 + 2]/4 = 0
y = [(-1/7)√21 + 0 + (-√21) + 0]/4 = (-2/7)√21
z = [(12/7)√7 + 0 + 0 + 0]/4 = (3/7)√7

所求 = 8 + 102/7 + 108/7 = 38

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hua0127

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30^# 大中小發表於 2014-5-14 16:34 只看該作者

回復 29# thepiano 的帖子

本題也可用最小值發生在重心時，所求的結果為
\(\frac{1}{4}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{AD} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{BC} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{BD} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{CD} \right\|}^{2}} \right)=38\)
的方式求，補充一下。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-14 04:40 PM 編輯 ]

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