101全國聯招

填充6.
\(x\)、\(y\)、\(z\)為正整數，且每一數為偶數之機率均為\(p\)，令\(xy+z\)為奇數之機率\(=f(p)\)，求滿足\(\displaystyle f(p)>\frac{1}{2}\)之\(p\)範圍為=　　　。
[提示]
96中區數學聯招選擇題38.機率那題一模一樣想必從題庫抓出來的

代公式=離均差相乘總合/n*Sx*Sy
=442/10*8.9*7.5
=0.6621

記得 應該叫作「參數式」吧

其實不用代，只要計算直線到圓心的距離 \( =1 \)，再由半徑是 2 可以推圓心角 \( \angle OAB = 2\arccos \frac12=\frac{2\pi}{3} \)

其中 O 為原點(且為球心)。

球面上，A B 兩短的距離，即延著通過 AB 的大圓(過球心) 的 AB 劣弧 \( 2\cdot \frac{2\pi}{3} =\frac{4\pi}{3}\).

感謝回復

想請教為什麼領導係數一定是1/3、1/4、1/5、1/6呢？

設 \(r\) 為正整數，

\(\displaystyle 1^r+2^r+3^r+\cdots+n^r=\sum_{k=1}^n k^r=\sum_{k=1}^n \left(k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots\left(k-r+1\right)+O\left(k^{r-1}\right)\right)\)

\(\displaystyle =\sum_{k=1}^n k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots\left(k-r+1\right)+\sum_{k=1}^n O\left(k^{r-1}\right)\)

\(\displaystyle =\sum_{k=1}^n \frac{1}{r+1}\Bigg(\left(k+1\right)k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots\left(k-r+1\right)-k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots\left(k-r+1\right)\left(k-r\right)\Bigg) + O\left(n^r\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{r+1}\Bigg(\left(n+1\right)n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots\left(n-r+1\right)-0\Bigg)+O\left(n^r\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{r+1}\Bigg(n^{r+1}+O\left(n^r\right)\Bigg)+O\left(n^r\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{r+1}\cdot n^{r+1}+O\left(n^r\right)\)

請問單選4，謝謝。

單選第 4 題：
設\(\alpha,\beta,\gamma\)為方程式\(2x^3+x^2-x-7=0\)的三根，將\(\displaystyle \frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}+\frac{1}{\gamma-1}\)之值四捨五入後可以得到下列何數？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3
[解答]
令 \(f(x)=2x^3+x^2-x-7=2\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)\)

則 \(f\,'(x)=6x^2+2x-1=2\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)+2\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)+2\left(x-\alpha\right)\left(x-\gamma\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{1}{x-\alpha}+\frac{1}{x-\beta}+\frac{1}{x-\gamma}=\frac{f\,'(x)}{f(x)}\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}=\frac{f\,'(1)}{f(1)}=\frac{7}{-5}\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}+\frac{1}{\gamma-1}=\frac{7}{5}=1.4\)

四捨五入得近似值為 \(1\) 。

註：感謝 thepiano 老師提醒筆誤，已修正。

感謝!!!

可以請問一下第一題嗎? 我一直算但是似乎都算不出正確答案