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103師大附中

shingjay176

興傑
31# 大 中 小 發表於 2014-5-7 20:57  只看該作者

回復 30# shmilypon 的帖子

哪裡有題目可以下載計算題

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Ellipse

32# 大 中 小 發表於 2014-5-7 21:01  只看該作者
引用:
原帖由 shingjay176 於 2014-5-7 08:57 PM 發表
哪裡有題目可以下載計算題
在10樓~

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shingjay176

興傑
33# 大 中 小 發表於 2014-5-7 22:22  只看該作者

回復 30# shmilypon 的帖子

計算題第一題，等等幫你貼上解答。
計算題第一題
若 C0103+C3103+C6103+    +C102103=abc+d，且abcd，為兩兩互質的正整數，求有序數組(abcd)=?

(1) 考慮 x3−1=0方程式下手，

x−1x2+x+1=0x=1x2+x+1=0w=2−1+3iw2=2−1−3iw3=1w2+w+1=0

(2)
1+x103=C0103x0+C1103x1+C2103x2+C3103x3+C4103x4+C5103x5+    +C103103x1031+w103=C01031+C1103w1+C2103w2+C3103w3+C4103w4+C5103w5+    +C103103w1031+w2103=C01031+C1103w2+C2103w4+C3103w6+C4103w8+C5103w10+    +C103103w2061+1103=C01031+C110311+C210312+C310313+C410314  +C510315+  +C10310311031+w103+1+w2103+1+1103=3C01031+C1103w1+C1103w2+C11031+C2103w2+C2103w4+C210312+3C31031++++++      +3C103102+C103103w103+C103103w206+C1031031=3C01031+C31031+C10210311+w103+1+w2103+1+1103=−w2103+−w103+2103=  −w2−w+2103=1+2103C01031+C31031+C1021031=31+2103


[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-7 10:47 PM 編輯 ]

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shmilypon

34# 大 中 小 發表於 2014-5-8 08:08  只看該作者

回復 33# shingjay176 的帖子

感謝您^^
方便請教計算的偵錯題嗎@@?
想了許久不知從何下手

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shingjay176

興傑
35# 大 中 小 發表於 2014-5-8 11:50  只看該作者

回復 34# shmilypon 的帖子

偵錯題第二題
問題：求 limnnk=11n  1k2=?
錯解：作區間01 的n等分分割，則nk=11n  1k2=011x2dx=x−110  故極限不存在
解答
limnnk=11n  1k2=limn1nnk=11k2  =limn1n112+122+132+    +1n2 
(1) 證明 limn112+122+132+    +1n2=62 

令 fx=sinx 求 sinx 在 x=0 的泰勒展開式
fx=f0+1!f0x+2!f0x2+3!f0x3++n!f(n)  xn   −   
\begin{align}   & f\left( 0 \right)=\sin 0=0\ ,\ {f}'\left( x \right)\ =\cos x\ ,\ {f}'\left( 0 \right)=\cos 0=1\ ,\ {f}''\left( x \right)=\sin x \\ & {f}''\left( 0 \right)=0\ ,\ {f}'''\left( x \right)=-\cos x\ ,\ {f}'''\left( 0 \right)=-1\ ,\ {{f}^{(4)}}\left( x \right)=\sin x\ ,\ {{f}^{(4)}}\left( 0 \right)=0 \\ & {{f}^{(5)}}\left( x \right)=\cos x\ ,\ {{f}^{(5)}}\left( 0 \right)=1\ ,\ \cdots  \\ \end{align}

(2)
\begin{align}   & \sin x=\left\{ \frac{x}{1!}-\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{x}^{5}}}{5!}-\frac{{{x}^{7}}}{7!}+\frac{{{x}^{9}}}{9!}-\frac{{{x}^{11}}}{11!}+\cdots  \right\} \\ & \frac{\sin x}{x}=1-\frac{{{x}^{2}}}{3!}+\frac{{{x}^{4}}}{5!}-\frac{{{x}^{6}}}{7!}+\frac{{{x}^{8}}}{9!}-\frac{{{x}^{10}}}{11!}+\cdots \ \ \ \ \ \ \ \ x\ne 0 \\ \end{align}

(3) 當 \frac{\sin x}{x}=0 方程式的根，顯然是 \pm \pi , \pm 2\pi , \pm 3\pi , \pm 4\pi , \cdots \;\;\;\;\;\left( {x \ne 0} \right)
\begin{array}{l} \Rightarrow \;1 - \frac{{{x^2}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{5!}} - \frac{{{x^6}}}{{7!}} + \frac{{{x^8}}}{{9!}} - \frac{{{x^{10}}}}{{11!}} +  \cdots \\ \;\; = \left( {1 - \frac{x}{\pi }} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{\pi }} \right) \times \left( {1 - \frac{x}{{2\pi }}} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{{2\pi }}} \right) \times \left( {1 - \frac{x}{{3\pi }}} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{{3\pi }}} \right) \times  \cdots \\ \;\; = \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{\pi ^2}}}} \right) \times \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{2^2}{\pi ^2}}}} \right) \times \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{3^2}{\pi ^2}}}} \right) \times  \cdots \end{array}
考慮{{x}^{2}} 項的係數
\begin{align}   & \frac{-1}{{{\pi }^{2}}}-\frac{1}{{{2}^{2}}{{\pi }^{2}}}-\frac{1}{{{3}^{2}}{{\pi }^{2}}}-\cdots \cdots =\frac{-1}{3!} \\ & \Rightarrow \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots \cdots =\frac{{{\pi }^{2}}}{6} \\ \end{align}
得證

(4)
\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}}\times \frac{1}{{{k}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \frac{1}{n}\times \left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \right\}  
且 \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n} 與\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) 極限值皆存在
\begin{align}   & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}}\times \frac{1}{{{k}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \frac{1}{n}\times \left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \right\} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\times \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)=0\times \frac{{{\pi }^{2}}}{6} \\ \end{align}       收斂到 0


學生錯誤的原因，\frac{1}{n} 很容易聯想到黎曼和 \left[ 0,1 \right] 區間做分割。
\Delta x=\frac{1-0}{n} ，分割點 \left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\frac{4}{n},\cdots ,\frac{n}{n} \right\}
黎曼和的高是 f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}\ ,\ f\left( \frac{1}{n} \right)={{n}^{2}}\ ,\ f\left( \frac{2}{n} \right)=\frac{{{n}^{2}}}{4}\ ,\cdots
黎曼和寫出來的式子是 \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{n}}f\left( \frac{i}{n} \right) 。這個題目是 \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{k}^{2}}}}  P級數求和


學生把這個題目當成黎曼和分割處理。底的部分 1/n, 是可以的。。
錯誤地方在黎曼和的高是用分割點代入。所以黎曼和寫出來的式子。不是這個題目要求的答案。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 10:00 AM 編輯 ]

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shingjay176

興傑
36# 大 中 小 發表於 2014-5-8 15:23  只看該作者
引用:
原帖由 Sandy 於 2014-5-5 07:19 PM 發表
可以問證明嗎？
第十題 證明如下圖檔

附件

IMG_20140508_152236.JPG (351.64 KB)

2014-5-8 15:23

IMG_20140508_152236.JPG

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shingjay176

興傑
37# 大 中 小 發表於 2014-5-8 19:57  只看該作者

回復 36# shingjay176 的帖子

偵錯題第一題
錯誤的地方出在，當等號成立時候，\sin x = \frac{4}{{\sin x}} \Rightarrow \sin x =  \pm 2
等號根本不可能成立。

\begin{array}{l} \;\;\;\;f\left( x \right) = \sin x + \frac{4}{{\sin x}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x + \frac{{ - 4\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{\cos x{{\sin }^2}x - 4\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \cos x{\sin ^2}x - 4\cos x = 0 \Rightarrow \cos x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 4\cos x\\ \Rightarrow \cos x\left( {{{\cos }^2}x + 3} \right) = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \end{array}

一階導函數判別遞增遞減，會發現在 \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}   有最小值產生
\sin x + \frac{4}{{\sin x}} \Rightarrow \min \;\;5


[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-8 08:24 PM 編輯 ]

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tsusy

寸絲
38# 大 中 小 發表於 2014-5-8 20:53  只看該作者

回復 37# shingjay176 的帖子

偵錯1. 來個為了不想微分而算幾的技巧性算幾

\sin x+\frac{1}{\sin x}\geq2\sqrt{\sin x\cdot\frac{1}{\sin x}}=2

\frac{3}{\sin x}\geq3

兩式相加得 \sin x+\frac{4}{\sin x}\geq5 ，且等號成立的條件皆為 x=\frac{\pi}{2} 。
網頁方程式編輯 imatheq

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shingjay176

興傑
39# 大 中 小 發表於 2014-5-8 21:54  只看該作者
引用:
原帖由 GGQ 於 2014-5-6 04:20 PM 發表
抱歉,我其實有偷懶寫
正確應該是 H(5,5)-H(5,3)-H(5,2)-H(5,1)-H(5,0)+H(5,0) 因為後兩項消除,我就沒寫出來了

B+C+D+E+F=5     的非負整數解   B
這樣思考，每一組組合數。會一對一對應一種排列的情形嗎？
例如(A,B,C,D,E,F)=(0,0,2,1,2,0)，會不會有兩種排列情形，對應這一種組合數

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-8 09:55 PM 編輯 ]

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natureling

40# 大 中 小 發表於 2014-5-8 23:29  只看該作者
想請教此題可否用夾擠定理呢?感恩。只是這樣算  1/1^2+1/2^2+...的極限值用夾擠定理就會出錯@@
所以還是問一下,...感恩
1/1^2+1/2^2+...+1/^2  >1/1^2+/2*3 +1/3*4+...+1/n(n+1)=(3n+1)/(2n+1)
1/1^2+1/2^2+...+1/^2 <1/1^2+1/1*2+1/2*3+....+1/(n-1)n=(2n-1)/n
則
(3n+1 )/ (2n^2+2n)  < 1/n *sigma 1/k^2 <(2n-1)/n^   
n-->無限大時,由夾擠定理,值=0
引用:
原帖由 shingjay176 於 2014-5-8 11:50 AM 發表
偵錯題第二題＿
問題：求 \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}}  \times \frac{1}{{{k^2}}}=?
錯解：作區間\left[ {0,1} \right]的n等分分割，則\(\sum\limits_{k = 1}^ ...

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