103臺中女中

填12. 是 225  沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的

提供一個暴力解，令 \( \overline{BC} =a, \overline{AC} = b \)，則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2}{3}\overline{BE})^{2}=\frac{4}{9}(a^{2}+\frac{b^{2}}{4}) \)。

令 G 為三角形之重心，則 \( \cos \angle AGB = \frac{-4}{5} \) (由直線法向量求夾角得)。

三角形 AGB 中，由餘弦定理得 \( 30^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2})+\frac{4}{9}(a^{2}+\frac{b^{2}}{4})-2\cdot\frac{4}{9}\sqrt{(\frac{a^{2}}{4}+b^{2})(a^{2}+\frac{b^{2}}{4})}\cdot(\frac{-4}{5}) \)

再以 \( a^2 + b^2 = 30^2 \) 化簡，可解得 \( a=b = 15\sqrt{2} \)，故得面積為 225

填充 6. #2 bugmens 老師的連結裡已有解法

填充 3. 向量的內心公式，及三點共線時線性組合係數和 =1，這兩件事，應該足以處理

填充 16. 預備知識：給定橢圓 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中 \( a>b >0 \)

離心率 \( e = \frac{c}{a} \)，準線 \( L: x = - \frac{a^2}{c} \)，焦點 \(  F_1(-c,0) \) 滿足：對橢圓上任一點 P， \( e\cdot d(P,L) = \overline{P,F_1} \) \) 皆成立

解. 配方化簡可得 \( \cos\theta+\sqrt{2}+\sqrt{(\sqrt{2}\cos\theta-2)^{2}+(\sin\theta+2)^{2}} \)，

令 \( P(\sqrt{2}\cos\theta,\sin\theta), A(2,-2), L:\: x=-2, F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0) \)。

注意 P 點在 橢圓 \( \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1 \) 上，且 \( L \) 為該橢圓之準線，離心率 \( =\frac{1}{\sqrt{2}} \)。

故 \( \cos\theta+\sqrt{2}+\sqrt{(\sqrt{2}\cos\theta-2)^{2}+(\sin\theta+2)^{2}}=\frac{1} {\sqrt{2}}\overline{PL}+\overline{PA}=\overline{PF_{1}}+\overline{PA} \)

\(\overline{PF_{1}}+\overline{PA}\leq\overline{PF}_{1}+\overline{PF_{2}}+\overline{F_{2}A}=2\sqrt{2}+\sqrt{5} \)，且當 \( F_{2} \) 在 \( \overline{PA} \) 線段上時，等號成立。

斜率暗藏玄機~這題下面解釋只差AC是垂直線,BC是水平線的證明(留給網友證)
參考如附件的圖~
考填充題可以大膽一點,先畫正常的圖(AC是垂直線,BC是水平線)
再根據題目給的資料
假設AD的斜率為m1,則m1=-2,
可知AC/CD=2/1 ,令AC=2t,CD=t (t>0) --------(1)
假設BE的斜率為m2,則m2=-(1/2)
可知EC/CB=1/2 ,令EC=k,CB=2k (k>0)--------(2)
由(1)&(2)及E,D分別為AC,CB中點知
AC=2EC ,2t=2(k) ,則t=k
所以AC=CB為等腰直角三角形(角C=90度)
剩下就簡單了~

註: 在所有的等腰直角三角形ABC(角C=90度)
     當AC是垂直線,BC是水平線
    則中線AD的斜率皆為 -2
     中線BE的斜率皆為-1/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-4 10:50 AM 編輯 ]

再整理一下填充12所用的性質
Lemma:
在坐標平面上,若三角形ABC的角C為直角
且中線AD的斜率為-2,中線BE的斜率為-1/2
<=>
AC=BC,且AC是垂直線,BC是水平線

請問13、15

填充 15. 以 \( a \) 各數分類相加得  \( \sum\limits _{k=1}^{5}C_{2k-1}^{10}\cdot2^{10-(2k-1)} \)

其中看作 \( (x+2)^{10} \) 展開中的 \( x \) 的奇數次方的係數和

故所求 = \( \frac{(1+2)^{10}-(-1+2)^{10}}{2}=\frac{3^{10}-1}{2} \)

填 13. 注意 \( D(\frac{2}{3},\frac{1}{3},0) \) 必為 \( \overline{AB} \) 與平面 \( E \) 之交點。

考慮 \( \overline{DE} \) 為平面 \( E \) 被 \( \triangle ABC \) 所截出線段，
\( E \) 的位置有兩種可能：在 \( \overline{CA} \) 上或在 \( \overline{CB} \) 上。

利用 \( \triangle=\frac{1}{2}ab\sin\theta \)，去解 \( \triangle ADE=\frac{1}{2}\triangle ABC \) (若 \( E \) 在 \( \overline{CA} \) 上)
及 \( \triangle BDE=\frac{1}{2}\triangle BAC \) (若 \( E \) 在 \( \overline{CB} \) 上)，
可得 \( E \) 不在 \( \overline{CA} \)，故僅有一解，且 \( E \) 在 \( \overline{CB} \) 上滿足 \( \overline{BE}=\frac{3}{4}\overline{BC} \)

\( \Rightarrow E(0,\frac{1}{4},\frac{3}{4}) \)，代入平面方程式得 \( a=\frac{3}{2} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-7 11:56 PM 編輯 ]

嗚~~我還是找不出來錯在哪?只有對到差3倍...我是模仿雙週一題算的.

三個行列式的正負號不同，先取絕對值相加，和相加的絕對值不相等

12.
由重心向量關係式知 向量GA+向量GB+向量GC=0向量 得|GA|^2+|GB|^2+2向量GA‧向量GB=|GC|^2

又|GF|=5,且利用兩直線之法向量可知角AGB之餘弦值為-4/5，再由中線定理可知|GA|^2+|GB|^2=2(|GF|^2+|AF|^2)=500，

故向量GA‧向量GB=-200，因此|GA||GB|=250

再利用角AGB之正弦值與重心之三等份面積性質可知ABC面積=3x(1/2)x250x(3/5)=225

6.
已知sec+tanx=(22/7)，設secx-tanx=k，兩式相乘得(secx)^2-(tanx)^2=22k/7，故k=7/22

再解上述兩式之聯立可得secx和tanx

[ 本帖最後由 tzhau 於 2014-5-14 01:32 PM 編輯 ]

個人覺得填充第一題，題目不太嚴謹。
應該加上: "a,b,c 皆相異" 這個條件；否則，考慮 a=b=c=1 的情況，即會出毛病。
追本溯源，公式 a³/(a - b)(a - c) + b³/(b - a)(b - c) + c³/(c - a)(c - b) = a+b+c 要成立，必須a,b,c 皆相異。