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103中央大學附屬中壢高中

yachine

鄭牙籤

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11^# 大中小發表於 2014-4-27 14:10 只看該作者

回復 10# tsusy 的帖子

哈哈原來我少考慮到左邊圓外
謝謝你

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yachine

鄭牙籤

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12^# 大中小發表於 2014-4-27 14:12 只看該作者

填充7

請問大家怎麼考量呢
我想到的是先假設S=原式
之後乘1/16 去相減

後續卡住 XD

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tsusy

寸絲

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13^# 大中小發表於 2014-4-27 14:39 只看該作者

回復 12# yachine 的帖子

填7.
求無窮級數243

1+264

2+285

3+2106

4+

之值為？
[解答]
乘 41 相減就好了，但是這個操作要做兩次

由 Ratio Test，知該級數收斂，令 S=

n=24nn2−1

則 (1−41)S=316+

n=34n2n−1

43S=316+

n=34n2n−1

(1−41)(43S)=43

316+543+

n=424n

916S=964+564+2256

11−41=4811

S=4811

916=2711。

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perfectcrazy

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14^# 大中小發表於 2014-4-27 16:36 只看該作者

大家都好強…
好厲害…
:-D

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shingjay176

興傑

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15^# 大中小發表於 2014-4-27 16:46 只看該作者

回復 14# perfectcrazy 的帖子

第四題
設ABCD為矩形，AB =1

BC =2

P為射線−

BC上一點，使tan

APC

=31 ，求PD長為?
(我先說我的想法，在考場時候，這個題目很容易思考到座標化，如下圖。可以算出直線 BD的方程式y=21x，然後假設p點的參數式，p(2t

t)

t

0，由於tan

APC

=31 的值為正，所以這個角度為銳角，因此p會落在矩形外面，如下圖的參考圖形。我想藉由向量內積。向量PA，向量PC內積去列出一個等式。解出 t這個未知數。列出來的等式如下

−2t

2+

1−t

2

2−2t

2+

−t

2

3

10=5t2−3t

如果要解出t，兩邊一平方後，就變成4次的方程式，而且係數很大。想法可以，但算不出來。在考場上就掛住了~~~

剛剛自己訂正又想到用三角函數的方法去做，答案有算出來了。

APC=

=

2+

1

tan

=31

2+

1

+

3+

4

=900

=900−

3+

4

31=tan

=tan

900−

3+

4

=cot

3+

4

=1tan

3+

4

31=1tan

3+

4

\Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{1 - (\tan \theta 3)(\tan \theta 4)}}{{(\tan \theta 3) + (\tan \theta 4)}}

\Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{1 - \frac{{2t - 2}}{t} \times \frac{{t - 1}}{{2t}}}}{{\frac{{2t - 2}}{t} + \frac{{t - 1}}{{2t}}}}

\Rightarrow \frac{{5{t^2} - 5t}}{{2{t^2}}} = \frac{{6{t^2} - 6{t^2} + 12t - 6}}{{2{t^2}}}

因為t大於0，因此得到分子會相等。

5{t^2} - 5t = 6{t^2} - 6{t^2} + 12t - 6

解出來

t = 3 \vee \frac{2}{5}

t = \frac{2}{5}不合

由此可知p(6,3),就可以解出

\overline {PD} = \sqrt {20}

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 08:11 PM 編輯 ]

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tsusy

寸絲

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16^# 大中小發表於 2014-4-27 17:27 只看該作者

填 10. 這類的排組，每個人的方法都略有不同，提供一個方式

先慮丁戊兩人在前三和後三的分布為
(2,0) xoxooo，丁戊有 2 種排法，第一個 o，僅有兩人可站，故此類有 2 \times 2 \times 3! = 24
(1,1) xooxoo，丁戊有 (3+3+2)\times 2 =16 種排法；甲乙丙三人恰一人只能排後兩個 o；排完後己有三個位置可選；己選完位後，甲乙丙另兩人恰剩 1 種排法，故此類有 16 \times 2 \times 3 = 96
(0,2) oooxox，丁戊有 2 種排法，己有 4 個位置可選，選後甲乙丙恰一種排法，故此類有 2 \times 4 =8 種

綜合以上，共有128 種排法。

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shingjay176

興傑

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17^# 大中小發表於 2014-4-27 17:35 只看該作者

回復 16# tsusy 的帖子

排列組合這題目，我當下直覺放棄。考慮很多可能，算了半天又不一定對。等等再來好好訂正算一次。

第五題 \Delta ABC中，已知\overline {BC} = 4，\vec{BC} \cdot \vec{CA} =2 \vec{CA} \cdot \vec{AB} =3 \vec{AB} \cdot \vec{BC}
求線段AC長度為?
解

ab\cos \left( {\pi - C} \right) = 2bc\cos \left( {\pi - A} \right) = 3ca\cos \left( {\pi - B} \right)

- ab\cos C = - 2bc\cos A = - 3ca\cos B

ab\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = 2bc\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = 3ca\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}

{a^2} + {b^2} - {c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} - 2{a^2} = 3{c^2} + 3{a^2} - 3{b^2}

\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} - {c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} - 2{a^2}\\ {a^2} + {b^2} - {c^2} = 3{c^2} + 3{a^2} - 3{b^2} \end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l} - 2{b^2} - 6{c^2} = - 6{a^2}\\ 6{b^2} - 6{c^2} = 3{a^2} \end{array} \right.

{b^2} = \frac{9}{8}{a^2} \Rightarrow b = \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \times 4 = 3\sqrt 2

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 07:31 PM 編輯 ]

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第五題參考圖

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chin

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18^# 大中小發表於 2014-4-27 19:26 只看該作者

計算二

用微分=0可求出n=3，6，-2/3
當n=3，所求有min=6

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shingjay176

興傑

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19^# 大中小發表於 2014-4-27 19:33 只看該作者

回復 17# shingjay176 的帖子

填充題第六題
求\log _{\left( {x + y + 1} \right)}^{}\sqrt {1 - {x^2}} \ge \log _{\left( {x + y + 1} \right)}^{}y的圖形面積為?
解
(1) 此時取出的範圍是在圓內

\left\{ \begin{array}{l} x + y + 1 > 1\\ \sqrt {1 - {x^2}} > 0\\ y > 0\\ \sqrt {1 - {x^2}} \ge y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y > 0\\ - 1 < x < 1\\ y > 0\\ {x^2} + {y^2} \le 1 \end{array} \right.

(2) 此時取出的範圍是在圓內

\left\{ \begin{array}{l} 0 < x + y + 1 < 1\\ \sqrt {1 - {x^2}} > 0\\ y > 0\\ \sqrt {1 - {x^2}} \ge y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < x + y + 1 < 1\\ - 1 < x < 1\\ y > 0\\ {x^2} + {y^2} \ge 1 \end{array} \right.

\left( {\frac{1}{2} \times {{\left( 1 \right)}^2} \times \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right) + \left\{ {\frac{1}{2} \times 1 \times 1 - \frac{1}{2}{{\left( 1 \right)}^2} \times \frac{\pi }{4}} \right\} = \frac{1}{2} + \frac{\pi }{4}

答案

\frac{1}{2} + \frac{\pi }{4}

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 07:53 PM 編輯 ]

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2014-4-27 19:53

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tsusy

寸絲

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20^# 大中小發表於 2014-4-27 19:39 只看該作者

回復 18# chin 的帖子

不知道您怎麼微的，這個根號讓人不敢領教，只好由 WolframAlpha 代勞

differential sqrt(x^4/16-3/2x^2-6x+34)+sqrt(x^4/16+x^2/2+1)
solve 2 ((x+x^3/4)/sqrt((4+x^2)^2)+(-6-3 x+x^3/4)/sqrt(544-96 x-24 x^2+x^4))=0

solve 2 ((x+x^3/4)/sqrt((4+x^2)^2)+(-6-3 x+x^3/4)/sqrt(544-96 x-24 x^2+x^4))=0

做出來的結果，微分 =0，僅有 x=3，並非您寫的 3 個？

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