計算 8.
1. 題意中，並無任何地方指出
f(x) 是一個多項式。
2. 題幹不完整，缺少函數
f 的定義域及對應域，且敘述有瑕疵
個人傾向解讀為：
f(f(x)+f(y))=x+y, for all
x
y
N。
但還是缺少了定義域和對應域，如不做限制，就會以下例子
例
f(x)=
xqxq, if xq
Q, if xqQ，其中 q 為一無理數，則當
xyN 時，
f(f(x)+f(y))=f(xq+yq)=f((x+y)q)=q(x+y)q=q。
3. 假設
f 的定義域和值域都是自然數集
N，則
f(1)=kN
f(2k)=2,
f(4)=4k,
f(k+4k)=1+4=5，
如此重覆(或數學歸納法)可得
f(p)=pk 且
f(qk)=q, for
p=14710
和
q=258。
pq 同上行，可得
f(pk+q)=f(f(p)+f(qk))=p+qk
f((p+qk)+pk)=f(f(pk+q)+f(p))=pk+q+p
又
p+qk+pk
1(Mod 3)，因此
f(p+qk+pk)=pk+qk2+pk2
故
pk+q+p=pk+qk2+pk2(p+q)(k2−1)=0k=
1
而
20141(Mod 3)，故
f(2014)=2014
4. 3 中我們看到另一個可能解
k=−1，如果要接受這個解，我們必須擴充對應域為
Z
緊接著的問題是
f(f(1)+f(1))=f(−2), 是否繼續擴充定義域，而且讓
f 滿足的關係式是對任意整數 x, y 皆成立。
否則不擴充的話，負整數，將不受限制，無法無天，然後又會發生無限多可能的解
103.8.28版主補充
設f為由實數映到實數的函數且f不為零函數。若對任意實數x,y，
f(x+yf(x))=f(x)+xf(y)皆成立，試證明：對每一個正整數n，
f(n)=n。
(88全國高中數學競賽 台中區複賽試題(一)，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)
那這題也可以用上面的方法證明嗎？假如不行的話是為什麼？那該用什麼方法？
[
本帖最後由 bugmens 於 2014-8-29 12:44 AM 編輯 ]
