計算 8.
1. 題意中，並無任何地方指出 \( f(x) \) 是一個多項式。
2. 題幹不完整，缺少函數 \( f \) 的定義域及對應域，且敘述有瑕疵
個人傾向解讀為：\( f(f(x)+f(y)) = x+y \), for all \( x, y \in \mathbb{N} \)。
但還是缺少了定義域和對應域，如不做限制，就會以下例子
例 \( f(x)=\begin{cases}
xq & \text{, if }\frac{x}{q}\notin\mathbb{Q}\\
\frac{x}{q} & \text{, if }\frac{x}{q}\in\mathbb{Q}
\end{cases} \)，其中 q 為一無理數，則當 \( x, y\in\mathbb{N} \) 時， \( f(f(x)+f(y))=f(xq+yq)=f((x+y)q)=\frac{(x+y)q}{q}=q \)。
3. 假設 \( f \) 的定義域和值域都是自然數集 \( \mathbb N \)，則 \( f(1)=k\in\mathbb{N} \)
\( f(2k)=2 \), \( f(4)=4k \), \( f(k+4k)=1+4=5 \)，
如此重覆(或數學歸納法)可得 \( f(p)=pk \) 且 \( f(qk)=q \), for \( p=1,4,7,10,\ldots \) 和 \( q=2,5,8,\ldots \)。
\( p, q \) 同上行，可得 \( f(pk+q)=f(f(p)+f(qk))=p+qk \)
\( \Rightarrow f((p+qk)+pk)=f(f(pk+q)+f(p))=pk+q+p \)
又 \( p+qk+pk\equiv1 (Mod 3) \)，因此 \( f(p+qk+pk)=pk+qk^{2}+pk^{2} \)
故 \( pk+q+p=pk+qk^{2}+pk^{2} \Rightarrow (p+q)(k^{2}-1)=0\Rightarrow k=\pm1 \)
而 \( 2014 \equiv 1 (Mod 3) \)，故 \( f(2014) = 2014 \)
4. 3 中我們看到另一個可能解 \( k=-1 \)，如果要接受這個解，我們必須擴充對應域為 \( \mathbb{Z} \)
緊接著的問題是 \( f(f(1)+f(1)) = f(-2) \), 是否繼續擴充定義域，而且讓 \( f \) 滿足的關係式是對任意整數 x, y 皆成立。
否則不擴充的話，負整數，將不受限制，無法無天，然後又會發生無限多可能的解
103.8.28版主補充
設f為由實數映到實數的函數且f不為零函數。若對任意實數x,y，\( f(x+yf(x))=f(x)+xf(y) \)皆成立，試證明：對每一個正整數n，\( f(n)=n \)。
(88全國高中數學競賽 台中區複賽試題(一)，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)
那這題也可以用上面的方法證明嗎？假如不行的話是為什麼？那該用什麼方法？
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本帖最後由 bugmens 於 2014-8-29 12:44 AM 編輯 ]
