例題：線性變換與線性函數

如果 f(x)=px+q，對於任意實數 x 及實數 pq，我們稱函數 f 是線性的。

如果F(x+y)=F(x)+F(y) 且 F(ax)=aF(x)，對於任意實數 xy 及實數a，我們稱 F 變換是線性的。

下列何者正確？

(A )定義在實數系中的線性變換是線性函數

(B )定義在實數系中的線性函數是線性變換

(C )定義在實數系中的線性函數與線性變換是相同的

(D )在實數系上，線性函數與線性變換並沒有關係






解答：

因為 f(0+0)=f(0)+f(0)

所以 f(0)=0

故對於實數 b=0 的線性函數 f(x)=ax+b 而言，並非線性變換.






接下來繼續證明：如果 f(x) 是定義在實數系上的線性變換，則 y=f(x) 線性函數.

對於任意相異的實數 x1x2

令 y1=f(x1)y2=f(x2)

則





令 f(1)=a 則


且因為線性變換滿足 f(0)=0

所以 y1−0=ax1−0 

可得 y1=ax1

故


亦即 f(x)=ax 為線性函數，其中 a=f1  為定值.