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99彰化高中兩題

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99彰化高中兩題

想請教大家以下兩題:

1. x^4+x^3-p=0 有有理根,p<50 p為兩位數且為正整數,求p值?

2. 把n個球放進3個相異的箱子中,任兩個箱子內的球數和大於等於另一個箱子內的球數;
(1)當n=2k+1 (2)當n=2k 時,方法數各為何?


目前只想起這兩題,還請高手指點,感謝大家!

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題目:\(x^4+x^3-p=0\) 有有理根,\(p<50\) 且 \(p\) 為兩位數且為正整數,求 \(p\) 值?


解答:

因為 \(p\) 為整數,由整系數一次因式檢驗法,可知此有理根必為整數根,令其為 \(\alpha\),

則 \(p=\alpha^3\left(\alpha+1\right)\)

case i: 若 \(\alpha\geq 0\),則 \(p=\alpha^3\left(\alpha+1\right)\geq\alpha^4\Rightarrow 50\geq\alpha^4\Rightarrow \alpha=0, 1, 2\)

   且因為 \(p\) 為兩位數正整數,所以 \(\alpha=2\Rightarrow p=24.\)

case ii: 若 \(\alpha<0\),因為 \(\alpha\) 為整數,所以 \(\alpha\leq -1\Rightarrow \alpha+1\leq0\)

   \(\Rightarrow 0\geq \alpha+1>\alpha\Rightarrow 0\geq \left(\alpha+1\right)^3>\alpha^3\)

   則 \(p=\alpha^3\left(\alpha+1\right)\geq\left(\alpha+1\right)^4\Rightarrow 50\geq\left(\alpha+1\right)^4\Rightarrow \alpha=-1,-2,-3\)

   且因為 \(p\) 為小於 \(50\) 的兩位數正整數,所以 \(\alpha=-1,-2,-3\) 都不合。

故,此方程式有一有理根為 \(2\) 且 \(p=24.\)




註:感謝 milkie1013 提醒修正小錯誤。 ^__^

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