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95台中農業職業學校

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95台中農業職業學校

想請問下面幾題:謝謝
1、設a,b為實數,則a^2+ab+b^2-a-2b的最小值為?(-1)
2、求值[(√3tan48度-1)/2sec48度]+2sin^2(18度)=?(1/2)
3、一火車站有4個入口處,每個入口處每次只能一人進站,今有5人進站,共有幾種不同進站方法.(6720)
4、試求y=-x^2-3x+6和x+y-3=0所為區域,繞x=3所得旋轉體的體積?(256pi/3)
5、銳角三角形ABC中,若H為其垂心,且AH=2BC,則cosA=?(2/√5)

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1、設 \(a,b\) 為實數,則 \(a^2+ab+b^2-a-2b\) 的最小值為?(-1)

解答:

\(\displaystyle a^2+ab+b^2-a-2b=a^2+2\times a\times\frac{b-1}{2}+b^2-2b\)

        \(\displaystyle =\left(a+\frac{b-1}{2}\right)^2+b^2-2b-\left(\frac{b-1}{2}\right)^2\)

        \(\displaystyle =\left(a+\frac{b-1}{2}\right)^2+\frac{3b^2-6b-1}{4}\)

        \(\displaystyle =\left(a+\frac{b-1}{2}\right)^2+\frac{3(b-1)^2-4}{4}\)

        \(\displaystyle =\left(a+\frac{b-1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2-1\)

        \(\geq -1\)

且當等號成立時,若且唯若 \(\displaystyle a+\frac{b-1}{2}=b-1=0\Leftrightarrow a=0,b=1.\)

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2、求值[(√3tan48度-1)/2sec48度]+2sin^2(18度)=?(1/2)

解答:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}\tan 48^\circ -1}{2\sec 48^\circ}+2\sin^2 18^\circ\)

      \(\displaystyle =\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 48^\circ-\frac{1}{2}\cos 48^\circ\right)+2\sin^2 18^\circ\)

      \(=\sin(48^\circ-30^\circ)+2\sin^2 18^\circ\)

      \(\displaystyle =\sin 18^\circ +2 \cdot \frac{1-\cos36^\circ}{2}\)

      \(=\sin 18^\circ +1 - \cos36^\circ\)

      \(\displaystyle =\frac{\sqrt{5}-1}{4}+1-\frac{\sqrt{5}+1}{4}\)

      \(\displaystyle =\frac{1}{2}.\)

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3、一火車站有4個入口處,每個入口處每次只能一人進站,今有5人進站,共有幾種不同進站方法.(6720)

解答:

先把五個人當成是相同球,投到四個入口處,

就知道各入口處需安排多少人在排列等待,

然後把五個人對應到上面選好的五個球的位置,

答案就是 \(H_5^4\times 5!=6720.\)

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4、試求 \(y=-x^2-3x+6\) 和 \(x+y-3=0\) 所圍區域繞 \(x=3\) 所得旋轉體的體積?(256pi/3)


解答:

先將旋轉軸 (x=3) 移到 y 軸 (x=0),則

所為上面兩個方程式變成是 \(y=-x^2-9x-12\) 與 \(y=-x\),

然後找出兩函數圖形的交點是在 \(x=-2,-6\) 時,

利用 shell method 來積分(剝洋蔥法),可得

所求體積 \(\displaystyle =\int_{-2}^{-6}2\pi x\left(-x^2-9x-12\right)dx - \int_{-2}^{-6}2\pi x\left(-x\right)dx\)

     \(\displaystyle =224\pi-\frac{416\pi}{3}=\frac{256\pi}{3}.\)

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5、銳角三角形ABC中,若H為其垂心,且AH=2BC,則cosA=?(2/√5)

解答:



如圖,可得 \(∠ BAC=∠BHD\)

因為 \(\triangle ADH \sim \triangle CDB\),所以 \(AH:HD=BC:BD\Rightarrow BD:DH=1:2\)

在 \(\triangle BHD\) 中,可得 \(\displaystyle BD:DH:BH=1:2:\sqrt{5}\Rightarrow \cos∠BHD=\frac{2}{\sqrt{5}}.\)

故,\(\displaystyle \cos∠ BAC=\cos∠BHD=\frac{2}{\sqrt{5}}.\)

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引用:
原帖由 weiye 於 2011-2-7 12:35 AM 發表
3、一火車站有4個入口處,每個入口處每次只能一人進站,今有5人進站,共有幾種不同進站方法.(6720)

解答:

先把五個人當成是相同球,投到四個入口處,

就知道各入口處需安排多少人在排列等待,

然後把五個人對應到上面選好 ...
謝謝weiye老師解析,請問這題我的想法是,每個人有4個入口選擇,現在有5個人,所以我得到的是4的5次方=1024,可否麻煩請weiye老師告知我的想法有何錯誤,謝謝

[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2011-2-9 11:23 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 kittyyaya 於 2011-2-9 11:22 PM 發表


謝謝weiye老師解析,請問這題我的想法是,每個人有4個入口選擇,現在有5個人,所以我得到的是4的5次方=1024,可否麻煩請weiye老師告知我的想法有何錯誤,謝謝 ...
每個入口每次只能有一個人通過,因此要考慮到在該入口的排隊順序,

你上面的做法,假設五人有兩人都選第一入口,則分不出排隊的先後順序。






我講一下我腦海中的圖形好了!

\(H^4_5\) 就是把「OOOOO|||」重新排成一列,

其中 O 表示相同的球,

排完之後的任一種情況,比如是「OO||O|OO」,

然後再把 a,b,c,d,e 五個人分別排入O之中,

例如「ad||e|cb」

然後就知道,第一個入口依序進去的是 a, d,第二個入口沒有人,第三個入口有e,第四個入口依序進去的有c, b。







當然,如果解此題時候,要直接把「a b c d e |||」重新排列也可以啦,

答案也一樣是 \(\displaystyle \frac{8!}{3!}=6720.\)

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