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向量問題請教

向量問題請教

E.
右圖四邊形\(ABDC\),已知\(\displaystyle tan(\angle BAC)=\frac{4}{3}\),且\(\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}\),若\(\overline{CD}=12\),\(\displaystyle \vec{AD}=\frac{5}{11}\vec{AB}+\frac{10}{13}\vec{AC}\),則\(\overline{BD}=\)   

台南女中考題請教,謝謝

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76618.jpg (118.04 KB)

2023-12-23 09:04

76618.jpg

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回覆 1# aliher327 的帖子

已經解出來了,謝謝大家

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可以請問一下如何解呢?
我利用向量與圓冪性質求出AD與 BC關係
接下來用餘弦與正弦就卡住了
用tan(a+b)公式也不行
想利用托勒密也不行
找圓心設半徑再利用相鄰角的餘弦和=0也不行
請問專家老師們, 應該要如何解題?
謝謝!

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回覆 3# youngchi 的帖子

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Sol_1223.png (27.28 KB)

2024-1-3 14:35

Sol_1223.png

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回覆 3# youngchi 的帖子

令 ∠CAD = α,∠BAD = β,AD 與 BC 交於 E

利用向量與圓冪性質可求出
AE/DE = 143/32,BE/CE = 22/13,AD/BC = 5/4
AE:BE:CE:DE = 143:88:52:32

△ACE 中,利用正弦定理可求出 cosβ = (13/4)sinα
△ABE 中,利用正弦定理可求出 sinβ = (8/13)cosα

sin(α + β) = 4/5
(13/4)(sinα)^2 + (8/13)(cosα)^2 = 4/5
(sinα)^2 = 16/185,(cosα)^2 = 169/185,(sinβ)^2 = 64/185
sinβ = 2sinα

△BCD 中,利用正弦定理可求出 BD = 12sinβ/sinα = 24

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回覆 1# aliher327 的帖子

抱歉, 現在才看到有人提問, 我貼一下我當時的解法, 用定坐標的方法

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南女平時考難題.pdf (345.84 KB)

2024-1-4 14:35, 下載次數: 265

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非常感謝各位老師的詳解!
Thanks a million.

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