求救2題資優班考古題

如右圖，在\(\Delta ABC\)中，\(D\)為線段\(\overline{AC}\)上的一點，且\(\overline{BD}\)長為\(\overline{AD}\)長的\(\sqrt{2}\)倍，\(E\)是\(\overline{BD}\)的中點，\(F\)是直線\(EA\)上一點，連接\(\overline{DF}\)，並在\(\overline{DF}\)上取一點\(G\)，使得\(\angle AGF=\angle CAE\)，在直線\(BG\)上取一點\(H\)，使得\(\overline{CH}// \overline{AB}\)。
試證：
(1)\(\Delta ABD\)與\(\Delta EAD\)相似。
(2)\(C\)、\(D\)、\(G\)、\(H\)四點共圓。

\(\overline{PA},\overline{PB}\)是圓\(O\)的切線\(\overline{BE}// \overline{PD}\)，\(\overline{PD}\)交\(\overline{AE}\)於點\(M\)，試證：\(M\)是\(\overline{CD}\)中點。

拜託各位老師了，謝謝

1.
\(\displaystyle \angle{AGF}=\angle{CAE}=\angle{ABD} \)
故 \( A、B、D、G \) 四點共圓
於是 \(\displaystyle \angle{BGD}=\angle{BAD}=\angle{DCH} \)
所以 \( C、D、G、H \) 四點共圓。

2.
\(\displaystyle \angle{AMP}=\angle{AEB}=\frac{1}{2} \overset{\frown}{AB}=\angle{AOP} \)
故 \( A、M、O、P \) 四點共圓
\(\displaystyle \angle{OMP}=\angle{OAP}=90^o \)